匀变速直线运动的位移与时间的关系

M 3 匀变速直线运动的位移与时间的关系
整体设计
高中物理引入极限思想的出发点就在于它是一种常用的科学思维方法，上一章教材用极限思想介绍了瞬时速度和瞬时加速度，本节介绍v-t图线下面四边形的面积代表匀变速直线运动的位移时，又一次应用了极限思想.当然，我们只是让学生初步认识这些极限思想，并不要求会计算极限.按教材这样的方式来接受极限思想，对高中学生来说是不会有太多困难的.学生学习极限时的困难不在于它的思想，而在于它的运算和严格的证明，而这些，在教材中并不出现.教材的宗旨仅仅是“渗透”这样的思想.在导出位移公式的中，利用实验探究中所得到的一条纸带上时间与速度的记 录，让学生思考与讨论如何求出小车的位移，要鼓励学生积极思考，充分表达自己的想法.可启发、引导学生具体、深入地分析，肯定学生正确的想法，弄清楚错误的原因.本节应注重数、形结合的问题，过程中可采用探究式、讨论式进行授课.
教学重点
1.理解匀速直线运动的位移及其应用.
2.理解匀变速直线运动的位移与时间的关系及其应用.
教学难点
1.v-t图象中图线与t轴所夹的面积表示物体在这段时间内运动的位移.
2.微元法推导位移公式.
课时安排
1课时
三维目标
知识与技能
1.知道匀速直线运动的位移与时间的关系.
2.理解匀变速直线运动的位移及其应用.
3.理解匀变速直线运动的位移与时间的关系及其应用.
4.理解v-t图象中图线与t轴所夹的面积表示物体在这段时间内运动的位移.
过程与方法
1.通过近似推导位移公式的过程，体验微元法的特点和技巧，能把瞬时速度的求法与此比较.
2.感悟一些数学方法的应用特点.
情感态度与价值观[来源:学科网]
1.经历微元法推导位移公式和公式法推导速度位移关系，培养自己动手的能力，增加物理情感.
2.体验成功的快乐和方法的意义.
课前准备
多媒体课件、坐标纸、铅笔
教学过程
导入新课
情景导入
“适者生存”是自然界中基本的法则之一，猎豹要生存必须获得足够的食物，猎豹的食物来源中，羚羊是不可缺少的.假设羚羊从静止开始奔跑，经50 m能加速到最大速度25 m/s，并能维持较长的时间；猎豹从静止开始奔跑，经60 m能加速到最大速度30 m/s，以后只能维持这个速度4.0 s.设猎豹在某次寻找食物时，距离羚羊30 m时开始攻击，羚羊在猎豹开始攻击后1.0 s才开始逃跑，假定羚羊和猎豹在加速阶段分别做匀加速直线运动，且均沿同一直线奔跑，猎豹能否成功捕获羚羊？
故事导入
1962年11月，赫赫有名的“子爵号”飞机正在美国马里兰州伊利奥特市上空平稳地飞行，突然一声巨响，飞机从高空栽了下来，事后发现酿成这场空中悲剧的罪魁祸首竟是一只在空中慢慢翱翔的天鹅.
在我国也发生过类似的事情.1991年10月6日，海南海口市乐东机场，海军航空兵的一架“014号”飞机刚腾空而起，突然，“砰”的一声巨响，机体猛然一颤，飞行员发现左前三角挡风玻璃完全破碎， 令人庆幸的是，飞行员凭着顽强的意志和娴熟的技术终于使飞机降落在跑道上，追究原因还是一只迎面飞来的小鸟.
飞机在起飞和降落过程中，与经常栖息在机场附近的飞鸟相撞而导致“机毁鸟亡”.小鸟为何能把飞机撞毁呢？学习了本节知识，我们就知道其中的原因了.
复习导入
前面我们学习了匀变速直线运动中速度与时间的关系，其关系式为v=v0+at.在探究速度与时间的关系时，我们分别运用了不同方法来进行.我们知道，描述运动的物理量还有位移，那位移与时间的关系又是怎样的呢？我们又将采用什么方法来探究位移与时间的关系呢？
推进新课
一、匀速直线 运动的位移与时间的关系
做匀速直线运动的物体在时间t内的位移x=v-t.
说明：取运动的初始时刻物体的位置为坐标原点，这样，物体在时刻t的位移等于这时的坐标x，从开始到t时刻的时间间隔为t.
教师设疑：同学们在坐标纸上作出匀速直线运动的v-t图象，猜想一下，能否在v-t图象中表示出做匀速直线运动的物体在时间t内的位移呢？学生作图并思考讨论.
合作探究
1.作出匀速直线运动的物体的速度?时间图象.
2.由图象可看出匀速直线运动的v-t图象是一条平行于t轴的直线.
3.探究发现，从0??t时间内，图线与t轴所夹图形为矩形，其面积为v-t.
4.结论：对于匀速直线运动，物体的位移对应着v-t图象中一块矩形的面积，如图2-3-1.

图2-3-1
点评：1.通过学生回答教师提出的问题，培养学生应用所学知识解决问题的能力和语言概括表达能力.
2.通过对问题的探究，提高学生把物理规律和数学图象相结合的能力.
讨论了匀速直线运动的位移可用v-t图象中所夹的面积来表示的方法，匀变速直线运动的位移在v-t图象中是不是也有类似的关系，下面我们就来学习匀变速直线运动的位移和时间的关系.
二、匀变速直线运动的位移
教师启发引导，进一步提出问题，但不进行回答.
问题：对于匀变速直线运动的位移与它的v-t图象是不是也有类似的关系？
通过该问题培养学生联想的能力和探究问题、大胆猜想的能力.
学生针对问题思考，并阅读“思考与讨论”.
学生分组讨论并说出各自见解.
结论：学生A的计算中，时间间隔越小，计算出的误差就越小，越接近真实值.
点评：培养用微元法的思想分析问题的能力和敢于提出与别人不同见解发表自己看法的勇气.
说明：这种分析方法是把过程先微分后再累加（积分）的定积分思想来解决问题的方法，在以后的学习中经常用到.比如：一条直线可看作由一个个的点子组成，一条曲线可看作由一条条的小线段组成.
教师活动：（投影）提出问题：我们掌握了这种定积分分析问题的思想，下面同学们在坐标纸上作初速度为v0的匀变速直线运动的v-t图象，分析一下图线与t轴所夹的面积是不是也表示匀变速直线运动在时间t内的位移呢？
学生作出v-t图象，自我思考解答，分组讨论.
讨论交流：1.把每一小段Δt内的运动看作匀速运动，则各矩形面积等于各段 匀速直线运动的位移，从图2-3-2看出，矩形面积之和小于匀变速直线运动在该段时间内的位移.

图2-3-2 图2-3-3 图2-3-4
2.时间段Δt越小，各匀速直线运动位移和与匀变速直线运动位移之间的差值就越小.如图2-3-3.
3.当Δt→0时，各矩形面积之和趋近于v-t图象下面的面积.
4.如果把整个运动过程划分得非常非常细，很多很小矩形的面积之和就能准确代表物体的位移了，位移的大小等于如图2-3-4所示的梯形的面积.
根据同学们的结论利用课本图2.3-2（丁图）能否推导出匀变速直线运动的位移与时间的关系式？
学生分析推导，写出过程：
S面积= （OC+AB）?OA
所以x= （v0+v）t
又v=v0+at
解得x=v0t+ at2.
点评：培养学生利用数学图象和物理知识推导物理规律的能力.
做一做：位移与时间的关系也可以用图象表示，这种图象叫做位移?时间图象，即x-t图象.运用初中数学中学到的一次函数和二次函数知识，你能画出匀变速直线运动x=v0t+ at2的x-t图象吗？（v0、a是常数）
学生在坐标纸上作x-t图象.
点评：培养学生把数学知识应用在物理中，体会物理与数学的密切关系，培养学生作关系式图象的处理技巧.
（投影）进一步提出问题：如果一位同学问：“我们研究的是直线运动，为什么画出来的x-t图象不是直线？”你应该怎样向他解释？
学生思考讨论，回答问题：
位移图象描述的是位移随时间的变化规律，而直线运动是实际运动.
知识 拓展
问题展示：匀变速直线运动v-t关系为：v=v0+at
x-t关系为：x=v0t+ at2
若一质点初速度为v0=0，则以上两式变式如何？
学生思考回答：v=at x= at2
进一步提出问题：一质点做初速度v0=0的匀加速直线运动.
（1）1 s末、2 s末、3 s末……n s末的速度之比为多少？
（2）1 s内、2 s内、3 s内……n s内的位移之比为多少？
（3）第1 s内、第2 s内、第3 s内……第n s内的位移之比为多少？
（4）第1个x，第2个x，第3个x……第n个x相邻相等位移的时间之比为多少？
点评：通过该问题加深对公式的理解，培养学生灵活运用所学知识解决实际问题的能力.
学生活动：思考，应用公式解决上述四个问题.
（1）由v=at知，v∝t，故1 s末、2 s末、3 s末……n s末的速度之比为：1∶2∶3∶…∶n
（2）由x= at2知x∝t2，故1 s内、2 s内、3 s内……n s内的位移之比为：1∶4∶9∶…∶n2
（3）第1 s内位移为x1= a，第2 s内位移为x2= a（22-12），第3 s内位移为x3= a（32-22），第n s内位移为xn= a［n2-（n-1 ）2］
故第1 s内，第2 s内，第3 s内，…第n秒内位移之比为：1∶3∶5∶…∶（2n-1）.
（4）由x= at2知t∝ ，故x，2x，3x，…nx位移所用时间之比为：1∶ ∶ ∶…∶ .
第1个x，t1= ；第2个x，t2= ；第3个x，t3= ……第n个x，tn= ，故第1个x，第2个x，第3个x……第n个x相邻相等位移的时间之比：1∶（ -1）∶（ - ）∶…∶（ - ）
三、匀变速直线运动位移时间关系的应用
引导学生由v=v0+at，x=v0t+ at2两个公式导出两个重要推论，再利用两个推论解决实际问题，加深对公式的理解，提高学生逻辑思维能力.[来源:学.科.网]
问题：在匀变速直线运动中连续相等的时间（T）内的位移之差是否是恒量？若不是，写出之间的关系；若是，恒量是多少？
学生分析推导 ：xn=v0T+ aT2
xn+1 =（v0+aT）T+ aT2
Δx=xn+1-xn=aT2（即aT2为恒量）.
展示论点：在匀变速直线运动中，某段时间内中间时刻的瞬时速度等于这段时间内的平均速度.
学生分组，讨论并证明.
证明：如图2-3-5所示

图2-3-5
= +
= +at
= = = +
所以 = .
例1一个做匀变速直线运动的质点，在连续相等的两个时间间隔内，通过的位移分别是24 m和64 m，每一个时间间隔为4 s，求质点的初速度和加速度.
解析：匀变速直线运动的规律可用多个公式描述，因而选择不同的公式，所对应的解法也不同.如：
解法一：基本公式法：画出运动过程示意图，如图2-3-6所示，因题目中只涉及位移与时间，故选择位移公式：

图2-3-6
x1=vAt+ at2
x2=vA（2t）+ a（2t）2-（ t+ at2）
将x1=24 m、x2=64 m，代入上式解得：
a=2.5 m/s2，vA=1 m/s.
解法二：用平均速度公式：
连续的两段时间t内的平均速度分别为：
=x1/t=24/4 m/s=6 m/s
=x2/t=64/4 m/s=16 m/s
B点是AC段的中间时刻，则
= ，
=
= = = m/s=11 m/s.
得 =1 m/s， =21 m/s
a= = m/s2=2.5 m/s2.
解法三：用推论式
由Δx=at2得
a= = m/s2=2.5 m/s2
再由x1= t+ at2
解得 =1 m/s.
答案：1 m/s 2.5 m/s2
说明：1.运动学问题的求解一般均有多种解法，进行一题多解训练可以熟练地掌握运动学规律，提高灵活运用知识的能力.从多种解法的对比中进一步明确解题的基本思 路和方法，从而提高解题能力.
2.对一般的匀变速直线运动问题，若出现相等 的时间间隔问题，应优先考虑公式Δx=at2求解.
课堂训练
一个滑雪的人，从85 m长的山坡上匀变速滑下，初速度是1.8 m/s，末速度是5.0 m/s，他通过这段山坡需要多长时间？
分析：滑雪人的运动可以看作是匀加速直线运动，可以利用匀变速直线运动的规律来求.已知量为初速度v0、末速度vt和位移x，待求量是时间t，此题可以用不同的方法求解.
解法一：利用公式vt=v0+at和x=v0t+ at2求解，
由公式vt=v0+at得，at=vt-v0，代入x=v0t+ at2有，
x=v0t+ ，故
t= = s=25 s.
解法二：利用平均速度的公式：
= 和x= t求解.
平均速度： = = =3.4 m/s
由x= t得，需要的时间：t= = =25 s.
关于刹车时的误解问题：
例2 在平直公路上，一汽车的速度为15 m/s，从某时刻开始刹车，在阻力作用下，汽车以2 m/s2的加速度运动，问刹车后10 s末车离开始刹车点多远？
分析：车做减速运动，是否运动了10 s，这是本题必须考虑的.
初速度v0=15 m/s，a=-2 m/s2，设刹车时间为t0，则0=v0+at.
得：t= = s=7.5 s，即车运动7.5 s会停下，在后2.5 s内，车停止不动.
解析：设车实际运动时间为t，vt=0，a=-2 m/s2，由v=v0+at知t=7.5 s.
故x=v0t+ at2=56.25 m.
答案：56.25 m
思维拓展
如图2-3-7所示，物体由高度相同、路径不同的光滑斜面静止下滑，物体通过两条路径的长度相等，通过C点前后速度大小不变，问物体沿哪一路径先到达最低点？

图2-37 图2-3-8
合作交流：物体由A→B做初速度为零的匀加速直线运动，到B点时速度大小为v1；物体由A→C做初速度为零的匀加速直线运动，加速度比AB段的加速度大，由C→D做匀加速直线运动，初速度大小等于AC段的末速度大小，加速度比AB段的加速度小，到D点时的速度大小也为v1（以后会学到），用计算的方法较为烦琐，现画出函数图象进行求解.
根据上述运动过程，画出物体运动的v-t图象如图2-3-8所示，我们获得一个新的信息，根据通过的位移相等知道两条图线与横轴所围“面积”相等，所以沿A→C→D路径滑下用的时间较短，故先到达最低点.
提示：用v-t图象分析问题时，要特别注意图线的斜率、与t轴所夹面积的物理意义.（注意此例中纵轴表示的是速率）
课堂训练
“适者生存”是自然界中基本的法则之一，猎豹要生存必须获得足够的食物，猎豹的食物来源中，羚羊是不可缺少的.假设羚羊从静止开始奔跑，经50 m能加速到最大速度25 m/s，并能维持较长的时间；猎豹从静止开始奔跑，经60 m能加速到最大速度30 m/s，以后只能维持这个速度4.0 s.设猎豹在某次寻找食物时，距离羚羊30 m时开始攻击，羚羊则在猎豹开始攻击后1.0 s才开始逃跑，假定羚羊和猎豹在加速阶段分别做匀加速直线运动，且均沿同一直线奔跑，问猎豹能否成功捕获羚羊？（情景导入问题）
解答：羚羊在加速奔跑中的加速度应为：
a1= = ①
x= a1t2 ②
由以上二式可得：a1= =6.25 m/s2，同理可得出猎豹 在加速过程中的加速度a2= = =7.5 m/s2.羚羊加速过程经历的时间t1= =4 s.猎豹加速过程经历的时间t2= =4 s.
如果猎豹能够成功捕获羚羊，则猎豹必须在减速前追到羚羊，在此过程中猎豹的位移为：x2=x2+v2t=（60+30×4） m=180 m，羚羊在猎豹减速前的位移为：x1=x1+v1t′=（50+25×3） m=125 m，因为x2-x1=（180-125） m=55 m＞30 m，所以猎豹能够成功捕获羚羊.
课堂小结
本节重点学习了对匀变速直线运动的位移?时间公式x=v0t+ at2的推导，并学习了运用该公式解决 实际问题.在利用公式求解时，一定要注意公式的矢量性问题.一般情况下，以初速度方向为正方向；当a与v0方向相同时，a为正值，公式即反映了匀加速直线运动的速度和位移随时间的变化规律；当a与v0方向相反时，a为负值，公式反映了匀减速直线运动的速度和位移随时间的变化规律.代入公式求解时，与正方向相同的代入正值，与正方向相反的物理量应代入负值.
布置作业
1.教材第40页“问题与练习”第1、2题.
2.利用课余时间实际操作教材第40页“做一做”的内容.
板书设计
3 匀变速直线运动的位移和时间的关系
位移与时间的关系
活动与探究
课题：用一把直尺可以测定你的反应时间.
方法：请另一个人用两个手指捏住直尺的顶端，你用一只手在直尺的下端作捏住直尺的准备，但手不能碰到直尺，记下这时手指在直尺上的位置；当你看到另一个人放开直尺时，你立即去捏直尺，记下你捏住直尺的位置 ，就可以求出你的反应时间.（用该尺测反应时间时，让手指先对准零刻度处）试说明其原理.
提示：直尺做v0=0、a=g的匀加速直线运动，故x= .
习题详解
1.解答：初速度v0=36 km/h=10 m/s，加速度a=0.2 m/s2，时间t=30 s，根据s=v0t+ at2得s=390 m.
根据v=v0+at得v=16 m/s.
2.解答：初速度v0=18 m/s，时间t=3 s，位移s=36 m.根据s=v0t+ at2得a= =-4 m/s2.
3.解答：x= at2x∝a
即位移之比等于加速度之比.
设计点评
本节是探究匀变速直线运动的位移与时间的关系，本教学设计先用微分思想推导出位移应是v-t图象中图线与t轴所夹图形的面积，然后根据求图形面积，推导出了位移?时间关系.这种分析方法是把过程先微分后再累加（积分）的定积分思想来解决问题的方法，在以后的学习中经常用到.因此本教学设计侧重了极限思想的渗透，使学生接受过程中不感到有困难.在渗透极限的探究过程中，重点突出了数、形结合的思路.

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