2012届高考数学函数模型及其应用知识归纳复习教案

3.函数模型及其应用
知识归纳
1．求解函数应用问题的思路和方法

2．函数建模的基本流程

误区警示
求解函数应用题时，关键环节是审题，审题时：
一要弄清问题的实际背景，注意隐含条件；
二是将文字语言恰当准确的翻译为数学语
言，用数学表达式加以表示；
三是弄清给出什么条件，解决什么问题，通
过何种数学模型加以解决；
四是严格按各种数学模型的要求进行推理运
算，并对运算结果作出实际解释．
3．常见函数模型的理解
（1）一次函数模型（其增长特点是直线上升（ 的系数 ），通过图象可很直观地认识它）、 二次函数型、正反比例函数型
（2）指数函数模型：能用指数型函数表达的函数模型，其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快 ，常形象地称之为“指数爆炸”。
（3）对数函数模型：能用对数函数表达式表达的函数模型，其增长特点是开始阶段增长得较快 ，但随着 的逐渐增大，其函数值变化越来越慢，常称之为“蜗牛式增长”。
（4）幂函数模型：能用幂函数表示表达的函数模型，其增长情况随 中 的取值变化而定，常见的有二次函数模型。
（5）分式（“勾”） 函数模型：形如 的函数模型，在现实生活中有着广泛的应用，常利用“基本不等式”解决，有时通过利用导数研究其单调性来求最值。

四．典例解析
题型1：正比例、反比例、一次函数型和二次函数型
例1．某种商品原来定价为每件a元时，每天可售出m件，现在把定价降低x个百分点（即x％）后，售出数量增加了y个百分点，且每天的销售额是原来的k倍。
（1）设y=nx，其中n是大于1的常数，试将k写成x的函数；
（2）求销售额最大时x的值（结果可用喊n的式子表示）；
（3）当n＝2时，要使销售额比原来有所增加，求x的取值范围。
解：（1）依题意有a(1-x%)×m(1+y%)=kam，将y=nx代入，化简得
（2）由（1）知当 时，k值最大。因为销售额为amk，所以此时销售额也最大，且销售额最大为 元。
（3）当n=2时， 要使销售额有所增加，需k＞1，所以 ＞0，故x∈（0，50），这就是说，当销售额有所增加时，降价幅度的范围需要在原价的一半以内。

题型2：分段函数型
例2某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元。
（I）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？
（II）设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数 的表达式；
（III）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？（工厂售出一个零件的利润＝实际出厂单价－成本）
[解题思路]根据题意及“工厂售出一个零件的利润＝实际出厂单价－成本”建立函数模型进行求解
【解析】（1）设每个零件的实际出厂价恰好降为51元，一次订购量为 个，则 。
因此，当一次定购量为550个时，零件的实际出厂单价恰降为51元。
（2）当 时，P＝60；
当 时， ；
当 时，P＝51。
所以
（3）设销售商的一次订购量为 个时，该厂获得的利润为L元，则
，
当 时，L＝6000；当 时，L＝11000。
故当销售商一次订购 500 个零件时，该厂获得的利润是6000元；如果订购1000个，利润是11000元．
[名师指引]求解数学应用题必须突破三关：
（1）阅读理解关：一般数学应用题的文字阅读量都比较大，要通过阅读审题，找出关键词、句，理解其意义．
（2）建模关：即建立实际问题的数学模型，将其转化为数学问题．
（3）数理关：运用恰当的数学方法去解决已建立的数学模型．
题型3：指数、对数型函数
例3．按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y岁存期x变化的函数式，如果存入本金1000元，每期利率2.25％，试计算5期后的本利和是多少？
解：已知本金为a元，1期后的本利和为y1=a＋a×r＝a(1+r),2期后的的本利和为y2=a(1+r)2，。。。。x期后的本利和为：y=a(1+r)x,
将a=1000，r=2.25%，x=5代入得y=1000×（1＋2.25％）5
用计算器可得y=1117.68（元）
点评：对于指数函数、对数函数要熟练应用近似计算的知识，来对事件进行合理的解析。
题型4：分式（不等式）型
例4．对1个单位质量的含污物体进行清洗, 清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为: 为 , 要求清洗完后的清洁度为 . 有两种方案可供选择, 方案甲: 一次清洗; 方案乙: 分两次清洗. 该物体初次清洗后受残留水等因素影响, 其质量变为 . 设用 单位质量的水初次清洗后的清洁度是 , 用 单位质量的水第二次清洗后的清洁度是 , 其中 是该物体初次清洗后的清洁度.。
(Ⅰ)分别求出方案甲以及 时方案乙的用水量, 并比较哪一种方案用水量较少;
(Ⅱ)若采用方案乙, 当 为某固定值时, 如何安排初次与第二次清洗的用水量, 使总用水量最小? 并讨论 取不同数值时对最少总用水量多少的影响.
解析：(Ⅰ)设方案甲与方案乙的用水量分别为x与z,由题设有 =0.99,解得x=19.
由 得方案乙初次用水量为3, 第二次用水量y满足方程: 解得y=4 ,故z=4 +3.
即两种方案的用水量分别为19与4 +3.
因为当 ,故方案乙的用水量较少.
（II）设初次与第二次清洗的用水量分别为 与 ，类似（I）得
， （*）
于是 +
当 为定值时, ,
当且仅当 时等号成立.此时

将 代入（*）式得
故 时总用水量最少,
此时第一次与第二次用水量分别为 ,
最少总用水量是 .
当 ,故T( )是增函数，这说明,随着 的值的最少总用水量, 最少总用水量最少总用水量.
点评：该题建立了函数解析式后，通过基本不等式“ ”解释了函数的最值情况，而解决了实际问题。该问题也可以用二次函数的单调性判断。

五．思维总结
1．将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。
2．怎样选择数学模型分析解决实际问题
数学应用问题形式多样，解法灵活。在应用题的各种题型中，有这样一类题型：信息由表格数据的形式给出，要求对数据进行合理的转化处理，建立数学模型，解答有关的实际问题。解答此类题型主要有如下三种方法：
（1）直接法：若由题中条件能明显确定需要用的数学模型，或题中直接给出了需要用的数学模型，则可直接代入表中的数据，问题即可获解；
（2）列式比较法：若题所涉及的是最优化方案问题，则可根据表格中的数据先列式，然后进行比较；
（3）描点观察法：若根据题设条件不能直接确定需要用哪种数学模型，则可根据表中的数据在直角坐标系中进行描点，作出散点图，然后观察这些点的位置变化情况，确定所需要用的数学模型，问题即可顺利解决。下面举例进行说明。
六：作业 《走向高考》
课后练习
1某地区上年度电价为0.8元/（千瓦?时），年用电量为a千瓦?时.本年度计划将电价降到0.55元／（千瓦?时）至0.75元／（千瓦?时）之间，而用户期望电价为0.4元／（千瓦?时）.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为k）.该地区电力的成本价为0.3元／（千瓦?时）.
（1）写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式；
（2）设k＝0.2a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%?
〔注：收益＝实际用电量×（实际电价－成本价）〕
[解题思路]先根据题意写出收益y与实际电价x的函数关系式，然后再列出不等式求解
[解析] （1）设下调后的电价为x元／（千瓦?时），依题意知用电量增至 ＋a，电力部门的收益为y＝（ ＋a）（x－0.3）（0.55≤x≤0.75）.
（2）依题意有
整理得
解此不等式得0.60≤x≤0.75.
答：当电价最低定为0.60元／（千瓦?时）时，仍可保证电力部门的收益比去年至少增长20%.
2．运货卡车以每小时 千米的速度匀速行驶130千米路程,
按交通法规限制50≤x≤100 (单位: 千米/小时). 假设汽油的价格是每升2元, 而汽车每小时耗油 升, 司机的工资是每小时14元.
（Ⅰ）求这次行车总费用y关于y的表达式；
（Ⅱ）当 为何值时, 这次行车的总费用最低, 并求出最低费用的值（精确到小数点后两位， ）．
[解题思路]根据题意建立y与x的函数关系，然后再求y的最小值
（Ⅰ）设行车所用时间为
∴
所以，这次行车总费用 关于 的表达式是：

（或： ）
（Ⅱ） ，
当且仅当 时，上述不等式中等号成立
答：当 约为56.88km/h时，这次行车的总费用最低，最低费用的值约为82.16元.
3．某厂家拟在2008年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元（m≥0）满足 ，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件。已知2008年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）。
（1）将2008年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
（2）该厂家2008的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
解：（1）由题意可知，当 ，
每件产品的销售价格为 （元），

（2） ，
（万元）时， （万元）。所以该厂家2006年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大值为21万元。

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