逍遥右脑 2017-05-21 09:26
谈到做实验,容易联想到物理实验、化学实验、生物实验等;谈到学数学,自然会联想到做数学题.题海战术几乎成为数学学科的代名词,难道做数学也可以做实验?
我们不妨先看一道中考题:
例1如图1,在平面直角坐标系xOy中,边长为a(a为大于0的常数)的正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点P,顶点A在x轴正半轴上运动,顶点B在y轴正半轴上运动(x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O),顶点C,D都在第一象限.
(1)当∠BAO=45°时,求点P的坐标.
(2)求证:无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动,点P都在∠AOB的平分线上.
(3)设点P到x轴的距离为h,试确定h的取值范围,并说明理由.
(1)(2)小题比较简单,略去.
如上即是用数学实验的方法解决了这道题.实际上,画个草图,通过观察法就能确定线段的取值范围.该方法形象直观,是解决动态问题的好方法.
数学课程标准指出:“学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的,这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动.”
数学实验是为了探索数学知识、检验数学结论(或假设)而进行的某种操作或思维活动,可以使学生逐步学会数学思维的物质实践方法,掌握数学研究的规律,培养理性思考问题的习惯,能够解决学科的和实际生活的问题,并检验和论证问题的结果.这是新课标所倡导的数学素养和数学的人文价值所在!因此,应当重视数学实验的解题功能.
一、用数学实验解决一般与特殊的关系
有的人片面地认为数学抽象、枯燥无味.其实,正是数学的抽象才带来其应用的广泛性.数学主要研究一般规律,我们不可用特殊来代替一般.另一方面,特例或举例却是我们常用的探索方法,用特例可以推翻一个结论,用举例也能解题.
例2如图7,在菱形ABCD中,∠B=60°,点E,F分别从点B,D出发以同样的速度沿边BC,DC向点C运动.给出以下四个结论:①AE=AF;②∠CEF=∠CFE;③当点E,F分别为边BC,DC的中点时,△AEF是等边三角形;④当点E,F分别为边BC,DC的中点时,△AEF的面积最大.上述结论中正确的序号有_________.
分析①②③易证是正确的.我们通过实验的方法来解决问题④.通过实验的方法,发现当E,F两点没有运动时,△AEF的面积为菱形面积的一半,当E,F分别为边BC,DC的中点时,△AEF的面积应是菱形面积的一半减去△CEF的面积,所以,在E,F两点运动到中点的过程中,△AEF的面积逐渐减小,故结论④错误.这时还应通过建立函数关系式的方法来证明这个结论是错误的.
学生在解决动点问题时,经常会因找不到突破口而困惑,此时可以引导学生通过做数学实验获得解题途径.本题通过实验,不仅简洁解决了问题,重要的是引导学生进行观察、分析、猜想、推证等一系列思维活动,不断探索,主动建构了新知,体现了新课标强调学生对新知识的探求和创新的理念.重要的是“观察—猜想—验证—证明”,这正是数学家思维活动的浓缩.因此,在数学教学中应重视非逻辑证明的教学;适当降低和减少逻辑演绎在数学教学中的地位与时间,加强实验、猜测、类比、归纳等合情推理在数学教学中的地位与作用.
二、用数学实验解决精确与毛估的关系
毛估是一种快速的近似估算,它的基本特点是对数值作扩大或缩小,从而对运算结果确定出一个范围或作出一个估计,更本质地看毛估,它应该是一种数学实验,是直觉基础上的一种数学意识.数学要求精确,但毛估有时还真能解决问题.
分析直接计算很繁,若通过实验—放缩法,可估算出S的取值范围,问题就迎刃而解了.
毛估这种数学实验通过具体性、经验性的实验操作活动,能不断地丰富学生的思维表象,促进学生思维由形象直观到抽象论证的转化,促进学生合情推理和演绎推理的和谐发展,培养学生的创造性思维和实践能力.
三、用数学实验探究解题思路
学生在解决运动问题时,可以引导学生通过几何画板做数学实验获得解题途径.
例5如图8,一个长为10米的梯子沿着墙壁滑动,梯子中点经过的路径有多长?
对于此题,学生的难点在于判断中点的轨迹是什么图形.可通过多画几个位置,描出中点找到规律.但利用几何画板构造图形,用跟踪点的研究就更直观.通过实验,学生可以得到其轨迹是以点C为圆心,梯子的一半长为半径的圆,根据弧长公式,可以得出,梯子中点经过的路径是2.5π.
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