2012届高考数学难点突破复习 排列组合

排列组合
1．分类计数原理（也称加法原理）：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝ 种不同的方法．
2．分步计数原理（也称乘法原理）：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝ 种不同的方法．
3．一般地说，从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
4．从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从 个为不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Amn表示．排列数公式Amn = 5．n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列，全排列数用Ann表示，它等于自然数从1到n的连乘积，自然数从1到n的连乘积叫做n的阶乘，用 表示．
6．一般地说，从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
7.从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Cmn表示．
组合数公式 ＝ ＝
8．排列与组合的共同点，就是都要“从n个不同元素中，任取 个元素”，而不同点就是前者要“按一定的顺序成一列”，而后者却是“不论怎样的顺序并成一组”．
排列、组合的概念具有广泛的实际意义，解决排列、组合问题，关键要搞清楚是否与元素的顺序有关。复杂的排列、组合问题往往是对元素或位置进行限制，因此掌握一些基本的排列、组合问题的类型与解法对学好这部分知识很重要。
一. 特殊元素（位置）用优先法：把有限制条件的元素（位置）称为特殊元素（位置），对于这类问题一般采取特殊元素（位置）优先安排的方法。
例1.6人站成一横排，其中甲不站左端也不站右端，有多少种不同站法？

二. 相邻问题用捆绑法：对于要求某几个元素必须排在一起的问题，可用“捆绑法”：即将这几个元素看作一个整体，视为一个元素，与其他元素进行排列，然后相邻元素内部再进行排列。
例2.5个男生和3个女生排成一排，3个女生必须排在一起，有多少种不同排法？

三. 不相邻问题用插空法：元素不相邻问题，可以先将其他元素排好，然后再将不相邻的元素插入已排好的元素位置之间和两端的空中。
例3. 7人排成一排，甲、乙、丙3人互不相邻有多少种排法？

四. 定序问题用除法：对于在排列中，当某些元素次序一定时，可用此法。解题方法是：先将n个元素进行全排列有 种， 个元素的全排列有 种，由于要求m个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到调序的作用，即若n个元素排成一列，其中m个元素次序一定，则有 种排列方法。
例4. 由数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的六位数有多少个？

五. 分排问题用直排法：对于把几个元素分成若干排的排列问题，若没有其他特殊要求，可采取统一成一排的方法求解。
例5. 9个人坐成三排，第一排2人，第二排3人，第三排4人，则不同的坐法共有多少种？

六．“小团体”排列问题中先整体后局部的策略
例6． 7个人排成一行，甲乙两人间恰有3人的排法共有多少种？

七. 复杂问题用排除法：对于某些比较复杂的或抽象的排列问题，可以采用转化思想，从问题的反面去考虑，先求出无限制条件的方法种数，然后去掉不符合条件的方法种数。在应用此法时要注意做到不重不漏。
例7. 四面体的顶点和各棱中点共有10个点，取其中4个不共面的点，则不同的取法共有（ ）A. 150种B. 147种C. 144种D. 141种

八. 多元问题用分类法：按题目条件，把符合条件的排列、组合问题分成互不重复的若干类，分别计算，最后计算总数。
例8.已知直线 中的a，b，c是取自集合{－3，－2，－1，0，1，2，3}中的3个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，求符合这些条件的直线的条数。

九. 排列、组合综合问题用先选后排的策略：
例9. 将4名教师分派到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分派方案共有多少种？

十. 隔板模型法：常用于解决整数分解型排列、组合的问题。
例10. 有10个三好学生名额，分配到6个班，每班至少1个名额，共有多少种不同的分配方案？
练习题：
1、4人跑4×100米接力赛，（1）甲、乙都不跑第一棒的安排方法有 种，
（2）甲不跑第一棒，乙不跑第四棒的安排方法有 种，
（3）甲不跑第一棒也不跑第四棒的安排方法有 种。
2、用0、2、3、4、5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有 个
3、平面上4条平行直线与另外5条直线互相垂直，则它们构成的矩形共有 个
4、从四台甲型和五台乙型电视机中任意取出三台，其中至少要有甲型与乙型各一台，则不同的取法有 种。
5、在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物，要求同一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物，现有4种不同的植物可供选择，则有 种栽种方案。
6、从0、1、2、…、9这十个数字中取出三个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的五位数，共有 个。
7、4个不同的小球，放入编号为1、2、3、4的四个盒中，恰有一个空盒的放法
有 种；恰有两个空盒的放法有 种。
8、将标号为1、2、…、10的10个球放入标号为1、2、…、10的10个盒子内，每个盒内放一球，则恰好有3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放法共
有 种。
9、5名学生和3名老师站成一排照相，3名老师必须站在一起的不同排法有 种
10.4名男生和3名女生排成一排，其中有且仅有两名女生相邻的排法有 种
11、6人站成一排，其中甲、乙、丙不全相邻的排法共有 种。
12．要使品种不同的4棵杨树和3棵柳树栽一行。任何两棵柳树不相邻的栽
有 种；杨柳相间的栽法有 种。
13、7个人排成一行照相，其中甲、乙要求在一起，丙、丁要求分开，则不同的排法有 种。
14、三个人坐在一排8个座位上，若每人左右两边豆都有空位，那么共有 种不同的坐法。
15、7个人排成一行，其中甲、乙、丙按自左至右的顺序不变的排法有 种。
16、从1、2、3、…、9这9个数中任取7个数，按从小到大的顺序排成一列，则不同排列的个数是 。
17、7个人排成一行，甲、乙两人间恰有3人的排法共有 种
18.马路上有编号为1， 2， 3， 4…..10的十盏路灯，为节约用电，又不影响照明可以把其中的三盏关掉，但不能关掉相邻的两盏，也不能关掉两端的路灯，则满足条件的关灯方法种数有_______种.
19、6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？
（1）一堆一本，一堆两本，一堆三本；
（2）甲得一本，乙得两本，丙得三本；
（3）一人得一本，一人得两本，一人得三本；
（4）平均分给甲、乙、丙三人；
（5）平均分成三堆。
20、6个人进两间屋子，各有多少种分配方法？
（1）每屋都进3人；
（2）每屋至少进1人；
（3）每屋至少进2人；

高考题汇编
1.（2009宁夏海南卷）7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动。若每天安排3人，则不同的安排方案共有________________种（用数字作答）。
2.（2009浙江卷理）甲、乙、丙 人站到共有 级的台阶上，若每级台阶最多站 人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是 （用数字作答）．
3.（2009北京卷文）用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为 （ ）A．8B．24C．48D．120
4．（2009北京卷理）用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（ ） A．324 B．328 C．360 D．648
5.（2009全国卷Ⅱ文）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有 （A）6种 （B）12种 （C）24种 （D）30种

6. （2009全国卷Ⅱ理）甲、乙两人从4门课程中各选修2门。则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有 A. 6种 B. 12种 C. 30种 D. 36种
7.（2009辽宁卷理）从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有
（A）70种 （B） 80种 （C） 100种 （D）140种
8.（2009重庆卷）将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有 种（用数字作答）．
9.(2009湖南卷)从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数位 （ ）
A 85 B 56 C 49 D 28
10.(2009湖北卷理)将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为
11.（2009陕西卷文）从1，2，3，4，5，6，7这七个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，其中奇数的个数为
(A)432 (B)288 (C) 216 (D)108
12.（2009湖北卷文）从5名志愿者中选派4人在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有一人参加，星期六有两人参加，星期日有一人参加，则不同的选派方法共有
A.120种 B.96种 C.60种 D.48种
13.（2009湖南卷文）某地政府召集5家企业的负责人开会，其中甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为（ ）
A．14 B．16 C．20 D．48
14.（2009全国卷Ⅰ）甲组有5名男同学、3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学，若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（ ）
（A）150种（B）180种 （C）300种（D）345种

音美班案：二项式定理
1．(a＋b)n＝ (n∈N)，这个公式称做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中的系数 叫做二项式系数．式中的 叫做二项展开式的通项，用Tr＋1表示，即通项公式Tr＋1＝ 是表示展开式的第r＋1项．
2．二项式定理中，二项式系数的性质有：
① 在二项式展开式中，与首末两项“等距离”的两项二项式系数相等，即：

② 如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大，即当n是偶数时，n+1是奇数，展开式共有n+1项，中间一项，即：第 项的二项式系数最大，为 ；当n是奇数时，n+1是偶数，展开式共有n+1项，中间两项，即第 项及每 项，它们的二项式系数最大，为 ③ 二项式系数的和等于?????????，即????????????④ 二项展开式中，偶数项系数和等于奇数项的系数和
3.对二项式定理的考查主要有以下两种题型：
（1）求二项展开式中的指定项问题：方法主要是运用二项式展开的通项公式；
（2）求二项展开式中的多个系数的和：此类问题多用赋值法；要注意二项式系数与项的系数的区别；求二项式所有项的系数和，可采用“特殊值取代法”，通常令字母变量的值为1
例1.（1）若(ax－1)5的展开式中x3的系数是－80，则实数a的值是
（2）(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+……+(1+x)6展开式中x2项的系数为 ．
（3）若 ，则 的值是（ ）A． B．1 C．0D．2
例2. 已知二项式 ，（n∈N ）的展开式中第5项的系数与第3项的系数的比是10：1，求展开式中各项的系数和

练习题：
1.（2009重庆卷文） 的展开式中 的系数是（ ）.
A．20B．40C．80D．160
2.（2009重庆卷理） 的展开式中 的系数是（ ）
A．16B．70C．560D．1120
3.（2009浙江卷理）在二项式 的展开式中，含 的项的系数是( ) . A． B． C． D．
4.（2009四川卷） 的展开式的常数项是 （用数字作答）
5.（2009湖南卷文）在 的展开式中， 的系数为 (用数字作答).
6.(2009湖南卷)在 的展开式中， 的系数为_____(用数字作答)
7.（2009全国卷Ⅰ） 的展开式中， 的系数与 的系数之和等于 。
8. 的展开式中 的系数是（ ）A． B． C．3D．4
9. 展开式中的常数项为（ ） A．1 B． C． D．
10.若(x+ )n的展开式中前三项的系数成等差数，则展开式中x4项的系数为（ ）(A)6 (B)7 (C)8 (D)9
11.设 则 中奇数的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
12. 的展开式中常数项为 ；各项系数之和为 ．（用数字作答）
13. 展开式中 的系数为_______________。
音美班案 等可能性事件的概率
等可能性事件的概率：如果一次试验由n个基本事件组成，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率是 ．如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率：

例1.从数字1，2，3，4，5中任取3个，组成没有重复数字的三位数，计算：
①这个三位数字是5的倍数的概率；
②这个三位数是奇数的概率；
③这个三位数大于400的概率.

例2. 在一次口试中，要从20道题中随机抽出6道题进行回答，答对了其中的5道就获得优秀，答对其中的4道就可获得及格．某考生会回答20道题中的8道题，试求：（1）他获得优秀的概率是多少？（2）他获得及格与及格以上的概率有多大？


音美班教学案 互斥事件有一个发生的概率
1．如果事件A、B互斥，那么事件A+B发生的概率，等于 ．即P(A+B)＝ ．
2.由于 是一个必然事件，再加上 ，故 ，于是 ，这个公式很有用，常可使概率的计算得到简化．当直接求某一事件的概率较为复杂时，可转化去求其对立事件的概率．

例3.袋中有红、黄、白3种颜色的球各1只，从中每次任取1只，有放回地抽取3次，求：（1）3只全是红球的概率．（2）3只颜色全相同的概率．（3）3只颜色不全相同的概率．（4）3只颜色全不相同的概率．

变式训练1：盒中有6只灯泡，其中2只是次品，4只是正品，从其中任取两只，试求下列事件的概率：
① 取到两只都是次品；
② 取到两只中正品、次品各1只；
②取到两只中至少有1只正品．

音美班教学案 相互独立事件同时发生的概率
1．事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率 ，这样的两个事件叫独立事件．
2．设A，B是两个事件，则A?B表示这样一个事件：它的发生，表示事件A，B ，类似地可以定义事件A1?A2?……An.
3．两个相互独立事件A，B同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(A?B)
＝ 一般地，如果事件 相互独立，那么：P(A1?A2……An)＝ .

4．n次独立重复试验中恰好发生 次的概率：如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在 次独立重复试验中这个事件恰好发生 次的概率是 ．
例4. 两台雷达独立工作，在一段时间内，甲雷达发现飞行目标的概率是0.9，乙雷达发现目标的概率是0.85，计算在这一段时间内，下列各事件的概率：
（1）甲、乙两雷达均未发现目标；
（2）至少有一台雷达发现目标；
（3）至多有一台雷达发现目标

变式训练2：甲、乙、丙三人分别独立解一道题，甲做对的概率为 ，甲、乙、丙三人都做对的概率是 ，甲、乙、丙三人全做错的概率是 ．
（1）求乙、丙两人各自做对这道题的概率；
（2）求甲、乙、丙三人中恰有一人做对这一道题的概率．

音美班教学案 离散型随机变量的分布列 期望与方差（理）
1．如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做 ，随机变量通常用希腊字母 ， 等表示．
2．如果随机变量可能取的值 ，那么这样的随机变量叫做离散型随机变量．
3．从函数的观点来看，P( ＝xk)＝Pk，k＝1， 2， …，n，…称为离散型随机变量 的概率函数或概率分布，这个函数可以用 表示，这个 叫做离散型随机变量的分布列．
4．离散型随机变量分布列的性质
(1) 所有变量对应的概率值（函数值）均为非负数，即 ．
(2) 所有这些概率值的总和为 即 ．
5．二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率为P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率 ，由于 是二项式展开式 的通项，所以称这个分布为二项分布列，记作
6．若离散型随机变量 的分布列为 .则称 为 的数学期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
7．对于随机变量 ，称 为 的方差． 的算术平方根 叫做 的标准差．随机变量 的方差与标准差都反映了随机变量取值的 ．
8．数学期望与方差的性质：若 （ 为随机变量），则 ， ．
9．服从二项分布的随机变量 的期望与方差：若 ,
1.(2008重庆)从编号为1,2,…,10的10个大小相同的球中任取4个，则所取4个球的最大号码是6的概率为（ ） (A) (B) (C) (D)
2.(2008山东)在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，…，18的18名火炬手.若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为（ ） （A） 　　（B） （C） 　（D）
3.(2008福建)某一批花生种子，如果每1粒发牙的概率为 ,那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是（　　）A. B. C. D.
4.（2009重庆卷）锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同。从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为（ ）
A． B． C． D．
5.（2009重庆卷）12个篮球队中有3个强队，将这12个队任意分成3个组（每组4个队），则3个强队恰好被分在同一组的概率为（ ）
A． B． C． D．
6.(2009山东卷文)在区间 上随机取一个数x， 的值介于0到 之间的概率为( ).A. B. C. D.
7.(2009山东卷理)在区间[-1，1]上随机取一个数x， 的值介于0到 之间的概率为( ) A. B. C. D.
8.（2009安徽卷）从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________。
9.（2009北京卷）某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是 ，遇到红灯时停留的时间都是2min.（Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；
(文)（Ⅱ）这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4min的概率.
(理)（Ⅱ）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间 的分布列及期望.

10.（2009重庆卷文）某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为 和 ，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的4株大树中：（Ⅰ）至少有1株成活的概率；（Ⅱ）两种大树各成活1株的概率．
10.（2009重庆卷理）某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为 和 ，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的4株大树中：
求：（Ⅰ）两种大树各成活1株的概率；（Ⅱ）成活的株数 的分布列与期望．

11.（2009全国卷Ⅰ）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束。假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立。已知前2局中，甲、乙各胜1局。
(文)（Ⅰ）求再赛2局结束这次比赛的概率；（Ⅱ）求甲获得这次比赛胜利的概率。
（理）（I）求甲获得这次比赛胜利的概率；（II）设 表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求 得分布列及数学期望。

12.（2009全国卷Ⅱ）某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有10名工人，其中有6名女工人。现采用分层抽样（层内采用不放回简单随即抽样）从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核。（Ⅰ）求从甲、乙两组各抽取的人数；
（Ⅱ）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；
(文)（Ⅲ）求抽取的4名工人中恰有2名男工人的概率。.
（理）（III）记 表示抽取的3名工人中男工人数，求 的分布列及数学期望。

13.（2009江西卷）某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审．假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是 .若某人获得两个“支持”，则给予10万元的创业资助；若只获得一个“支持”，则给予5万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助．求：
(文)(1) 该公司的资助总额为零的概率；（2）资助总额超过15万元的概率．. （理）令 表示该公司的资助总额．(1) 写出 的分布列；(2) 求数学期望 ．
14.(2008陕西省理)某射击测试规则为：每人最多射击3次，击中目标即终止射击，第 次击中目标得 分，3次均未击中目标得0分．已知某射手每次击中目标的概率为0.8，其各次射击结果互不影响．（Ⅰ）求该射手恰好射击两次的概率；
（Ⅱ）该射手的得分记为 ，求随机变量 的分布列及数学期望．

15.（2009浙江卷理）在 这 个自然数中，任取 个数．
（I）求这 个数中恰有 个是偶数的概率；
（II）设 为这 个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为 ，则有两组相邻的数 和 ，此时 的值是 ）．求随机变量 的分布列及其数学期望 ．

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