一次函数

18.3一次函数（4）
知识技能目标
1.掌握一次函数y＝kx＋b(k≠0)的性质.
2.能根据k与b的值说出函数的有关性质.
过程性目标
1.经历探索一次函数图象性质的过程，感受一次函数中k与b的值对 函数性质的影响；
2.观察图 象，体会一次函数k、b的取值和直线位置的关系，提高学生数形结合能力．
过程
一、创设情境
1.一次函数的图象是一条直线，一般情况下我们画一次函数的图象，取哪两个点比较简便？
2.在同一直角坐标系中，画出函数 和y＝3x-2的图象.
问 在你所画的一次函数图象中，直线经过几个象限.

二、探究归纳
1.在所画的一次函数图象中，直线经过了三个象限.
2.观察图象发现在直线 上，当一个点 在直线上从左向右移动时，（即自变量x从小到大时），点的位置也在逐步从低到高变化（函数y的值也从小变到大）.
即：函数值y随自变量x的增大而增大.
请同学们讨论：函数y＝3x-2是否也有这种现象?
既然，一次函数的图象经过三个象限，观察上述两个函数的图象，从它经过的象限看，它必经过哪两个象限（可以再画几条直线分析）？
发现上述两条直线都经过一、三象限．又由于直线与y轴的交点坐标是(0,b)所以，当b＞0时，直线与x轴的交点在y轴的正半轴，也称在x轴的上方；当b＜0时，直线与x轴的交点在y轴的负半轴，也称在x轴的下方．所以当k＞0,b≠0时，直线经过一、三、二象限或一、三、四象限.
3.在同一坐标系中，画出函 数y＝-x＋2和 的图象（图略）.
根据上面分析的过程，请同学们研究这两个函数图象是否也有相应的性质？你能发现什么规律.
观察函数y＝-x＋2和 的图象发现：当一个点在直线上从左向右移动时(即自变量x从小到大时)，点的位置 逐步从高到低变化（函数y的值也从大变到小）
即：函数值y随自变量x的增大而减小.
又发现上述两条直线都经过二、四象限，且当b＞0时，直线与x轴的 交点在y轴的正半轴，或在x轴的上方；当 b＜0时，直线与x轴的交点在y轴的负半 轴 ，或在x轴的下方.所以当k＜0,b≠0时，直线经过二、四 、一象限或经过二、四、三象限.
一次函数y＝kx＋b有下列性质：
(1 )当k＞0时，y随x的增大而增大，这时函数的图象从左到右上升；
( 2)当k＜0时，y随x的增大而减小，这时函数的图象从左到右下降.
特别地，当b＝0时，正比例函数也有上述性质.
当b＞0,直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，直线与y轴交于正半轴.
下面，我们把一次函数中k与b的正、负与它的图象经过的象限归纳列表为：

4. 利用上面的性质，我们来看问题1和问题2反映了怎样的实际意义？
问题1 随着时间的增长,小明离北京越来越近.
问题2 随着时间的增长,小张的 存款越来越多.

三、实践应用
例1 已知一次函数y＝(2m-1)x ＋m＋5,当m是什么数时，函数值y随x的增大而 减小？
分 析 一次函数y＝kx＋b(k≠0)，若k＜0，则y随x的增大而减小．
解 因为一次函数y＝(2m-1)x＋m＋5，函数值y随x的增大而减小．
所以，2m-1＜0,即 .

例2 已知一次函数 y＝(1-2m)x＋m-1，若函数y随x的增大而减小，并且函数的图象经过二、三、四象限,求m的取值范围.
分析 一次函数y＝kx＋b(k≠0)，若函数y随x的增大而减小，则k＜0,若函数的图象经过二、三、四象限，则k＜0,b＜0.
解 由题意得: ,
解得，

例3 已知一次函数y＝(3m-8)x＋1-m图象与y轴交点在x轴下方，且y随x的增大而减小，其中m为整数.
(1)求m的值；(2)当x取何值时，0＜y＜4？
分析 一次函数y＝kx＋b(k≠0)与y轴的交点坐标是(0,b)，而交点在x轴下方，则b＜0,而y随x的增大而减小,则k＜0.
解 (1)由题意得： ，
解之得， ,又因为m为整数,所以m＝2.
(2)当m＝2时，y＝-2x-1.
又由于0＜y＜4.所以0＜-2x-1＜4.
解得： .

例4 画出函数y＝-2x＋2的图象，结合图象回答下列问题：
(1)这个函数中，随着x的增大，y将增大还是减小？它的图象从左到右怎样变化？
(2)当x取何 值时，y＝0?
(3)当x取何值时，y＞0？
分析 (1)由于k＝-2＜0,y随着x的增大而减小.
(2) y＝0,即图象上纵坐标为0的点,所以这个点在x轴上.
(3) y＞0,即图象上纵坐标为正的点,这些点在x轴的上方.

解 (1)由于k＝-2＜0,所以随着x的增大，y将减小. 当一个点在直线上从 左向右移动时，点的位置也在逐步从高到低变化,即图象从左到右呈下降趋势.
(2)当x＝1时, y＝0 .
(3)当x＜1时, y＞0.

四、交流反思
1．(1)当k＞0时，y随x的增大而增大，这时函数的图象从左到右上升；
(2)当k＜0时，y随x的增大而减小， 这时函数的图象从左到右下降.
当b>0,直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，直线与y轴交于负半轴；当b=0时，直线与y轴交于坐标原点.
2．k＞0,b＞0时，直线 经过一、二、三象限；k＞0,b＜0时，直线经过一、三、四象限；
k＜0,b＞0时，直线经过一、二、四象限；k＜0,b＜0时，直线经过二、三、四象限.

五、检测反馈
1.已知函数 ,当m为何值时，这个函数 是一次函数.并且图象经过第二 、三、四象限？
2.已知关于x的一次函数y＝(-2 m＋1)x＋2m2＋m-3.
(1)若一次函数为正比例函数，且图象经过第一、第三象限，求m的值；
(2)若 一次函数的图象经过点(1，-2),求m的值.
3.已知函数 .
(1)当m取何值时，y随x的增大而增大?
(2)当m取何值时，y随x的增大而减小?
4.已知点(-1,a)和 都在直线 上，试比较a和b的大小.你能想出几种判断的方法？
5.某个一次函数的图象位置大致如下图所示，试分别确定k、 b的符号，并说出函数的性质.


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