逍遥右脑 2014-01-09 08:23
浙江泰顺县第一中学 曾安雄
[考点阐释]
在高考中有关集合内容共有5个考点：①集合；②子集；③补集；④交集；⑤并集．
考试要求：①理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；②了解空集和全集的意义；③了解属于、包含、相等关系的意义；④掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合。
重点：①集合的表示及专用符号．用描述法表示集合{xx∈P}，要正确理解竖线前代表元素及其具有的性质P；②集合之间的运算：能够熟练地求两个或几个集合的交集、并集合，并掌握利用数轴、文氏图解决集合的方法．
[题型特点及破解技巧]
一、基本型
题型特点：主要考查集合的基本概念和基本运算，这是高考考查集合的主要方式，几乎每年必考．
破解技巧：常用解法是定义法、列举法、性质法、韦恩图法及语言转换法等.
例1(2003年北京春季高考题)若集合M＝{ y y＝2x}，P＝{ y y＝ }，则M∩P＝（ ）
(A) { y y＞1} (B) { y y≥1}
(C) { y y＞0} (D) { y y≥0}
分析：本题的错误率极高，主要是缺乏语言互化能力．其实是求“两个函数值域的交集”．
解：本题集合M与P中的代表元素是y，则M∩P即是求函数y＝2x与y＝ 的值域的公共部分，显然M＝{ y y＞0}，P＝{ y y≥0}，故选(C)．
例2(2014年全国高考北京卷)设全集是实数集R， ， ，则 M∩N等于( )
A. B.
C. D.
分析：本题分步计算即得，先算补集，再求交集．
解：先计算补集 M＝{xx＜－2或x＞2}，再继续求交集，即 M∩N＝{xx＜－2}，故选(A)．
例3(2014年全国高考Ⅰ卷河南、河北等地区) 设A、B、I均为非空集合，且满足A B I，则下列各式中错误的是( )
(A) ( A)∪B＝I (B) ( A)∪( B)＝I
(C) A∩( B)＝ (D) ( A)∩( B)＝ B
点通1 运用韦恩图
画出韦恩图(如右图)，从图中易验证，选项(B)错误．故选(B)．
点通2 运用特殊集合
设A＝{1}，B＝{1，2}，I＝{1，2，3}，则 A＝{2，3}， B＝{3}易验证(B)错误．故选(B)．
例4(2014年北京高考题)设全集U=R，集合M={x x＞1}，P={x x2＞1}，则下列关系中正确的是( )
(A)M＝P (B) P M (C) M P (D)
解：P＝{xx＞1或x＜－1}，M＝{xx＞1}，易知M P，而选(C)．
点评：判断集合之间关系问题，应先简化集合，再判断．有时还可结合图象加以观察．
二 、交汇型
题型特点：主要是将集合与不等式、三角函数、解析几何等知识进行交汇，形成多知识点的综合问题．
破解技巧：解题的关键在于灵活运用有关知识.
例5⑴(2014年山东高考题) 设集合A、B是全集 的两个子集，则A B是 的（ ）
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
⑵(2014年上海高考题)已知集合 ， ，则 等于（ ）
A． B．
C． D．
分析：第⑴小题是集合与简易逻辑进行交汇，用推出法即可解决．第⑵小题是集合与不等式的交汇．
解：⑴由 ，即A＝B或A B，设p：A B；q： ，则有p q，但q p．故选(A)．
⑵集合M = { x －1≤x≤3，x }，P = { x －1＜x ≤4，x Z = { x 0≤x≤4，x Z}，所以 = ，故选(B)．
点评：对于⑵是集合与绝对值不等式及分式不等式的交汇，对分式不等式到整式不等式的转化．在这里，要注意分母不为零的条件限制．
三、计数型
题型特点：是指以集合为背景，求子集的个数、集合中元素的个数等．
破解技巧：常用解法是子集的个数公式法、图表法、组合数公式法等 .
例6⑴(2003年安徽春季高考题) 集合S＝{a，b，c，d，e}，包括{a，b}的S的子集共有（ ）
(A) 2个 (B) 3个 (C) 5个 (D) 8个
⑵(2014年全国高考Ⅲ卷陕西、广西等地区)设集合M＝{(x，y)x2＋y2＝1，x∈R，y∈R}，N＝{(x，y)x2－y＝0，x∈R，y∈R}，，则集合 中元素的个数为（ ）
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
⑶(2014年天津高考文科卷)设集合 N}的真子集的个数是( )
(A) 16 (B) 8； (C) 7 (D) 4
解： ⑴本题等价于求集合{c，d，e}的子集个数，即为23＝8，选(D)．
⑵本题只要将集合语言转换成图形语言即可．本题实质就是单位圆与抛物线y＝x2的交点个数，画图知2个，故选(B)．
⑶A＝{0，1，2}，故A的真子集个数是23－1＝7，选(C)．
四、逆向型
题型特点：已知集合的运算结果，写出集合运算的可能表达式，这类题往往具有一定的开放性．
例7⑴（2000年上海春季高考题）设U是全集，非空集合P、Q 满足P Q U，若含P、Q 的一个集合运算表达式，使运算结果为空集 ，则这个运算表达式可以是_______（只要写出一个表达式）.
⑵（2002年上海春季高考题）若全集U＝R，f(x)、g(x)均为x的二次函数，P= ，则不等式组 的解集可用P、Q表示为 .
解：⑴此题是开放性试题，如图，
极易得到其多种答案：
① UQ∩P；
②P∩( UP∩Q)；
③ UQ∩(P∪Q)；等等.
⑵由补集定义，得 UQ＝ x│g(x)＜0 ，则不等式组 的解集就是P与 UQ的交集，即表示为P∩ UQ.
五、阅读理解型
题型特点：以集合内容为背景即时设计一个陌生的问题情景，要求学生在理解的基础上作答．
例8(2014年浙江高考题)设f(n)＝2n＋1(n∈N)，P＝{1，2，3，4，5}，Q＝{3，4，5，6，7}，记 ＝{n∈Nf(n)∈P}， ＝{n∈Nf(n)∈Q}，则( ∩ )∪( ∩ )＝( )
(A) {0，3} (B){1，2} (C) (3，4，5} (D){1，2，6，7}
解：(理解新定义)由 ＝{n∈Nf(n)∈P}＝{0，1，2}， ＝{n∈Nf(n)∈Q}＝(1，2，3}，则有 ∩ ＝{0}， ∩ ＝{3}．
∴ ( ∩ )∪( ∩ )＝{0，3}，故选(A)．
点评：这是集合新定义题，“ 、 ”是学生在中学不曾学过的一种集合运算，应紧扣集合中元素的属性来解题，即求出 、 ，再运算．
类题：
1．(2014年湖北高考题)设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q= ，则P+Q中元素的个数是（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
2．(2014年辽宁高考题) 是正实数，设 是奇函数}，若对每个实数 ， 的元素不超过2个，且有 使 含2个元素，则 的取值范围是 .
[答案：1．(B) 2． ]
三、命题趋向
集合内容将以集合运算为重点进行考查，在2014年高考中将仍以选择题或填空题的形式出现，其难度在0.7左右，同时要注意集合思想的应用及集合与其它知识的交汇，展示以集合语言为背景的应用性、开放性试题，具有构思巧妙、新颖、解法灵活特点，将会是未来高考“出活题、考能力”的命题趋向．
四、备考建议
一、注重基础，注意辨析
对于集合的复习，首先要注重基础，熟练掌握集合间的关系(子集与真子集)的判定方法，集合间的运算 学习规律；同时，还要对集合的有关概念和符号进行辨析，只有准确把握它们，才不会在高考中掉进命题者设计的陷阱之中．
首先，要明确集合元素的意义，弄清集合由哪些元素所组成，这就需要对集合的文字语言，符号语言，图形语言进行相互转化．
其次，由于集合知识概念新，符号多，往往顾此失彼，因此需要注意如下几个方面的问题：一是注意集合元素的三性(确定性，互异性，无序性)；二要注意0，{0}， ，{ }的关系，数字0不是集合，{0}是含有一个元素0的集合，而 是不含任何元素的集合，{ }则是以 为元素的集合；三要注意空集的特殊性，空集是任何非空集合的真子集，它在解题过程中极易被忽视；四要注意符号“∈”与“ ”(或 )的区别，符号“∈”表示元素与集合之间的从属关系，“ ” (或 )表示集合与集合之间的包含关系．
二、不可忽视集合的交汇性及创新性问题
对集合的重点复习是集合间的关系判定以及集合间的运算问题．其中关系判定以及集合间的运算问题，常常是集合内容与不等式等内容进行交汇，故应熟练掌握一元一次(二次、高次)不等式，分式不等式，三角不等式，含参不等式，指对数不等式等的解法．但也有可能考查较为灵活的非常规的开放题，探究题，信息迁移题等创新题．其实也是近年高考在集合方面的一个新命题背景，特别是定义新运算．如已知集合A＝{0，2，3}，定义集合运算A※A＝{xx＝a•b，a∈A，b∈A}，则A※A＝_________．此类关键是理解新运算，易得a，b可以相同，知填{0，6，4，9}．