2012届高考数学第二轮考点解析几何问题的题型与方法专题复习教案

第17－20课时： 解析几何问题的题型与方法

一．复习目标：
1.能正确导出由一点和斜率确定的直线的点斜式方程；从直线的点斜式方程出发推导出直线方程的其他形式，斜截式、两点式、截距式；能根据已知条件，熟练地选择恰当的方程形式写出直线的方程，熟练地进行直线方程的不同形式之间的转化，能利用直线的方程来研究与直线有关的问题了.
2.能正确画出二元一次不等式（组）表示的平面区域，知道线性规划的意义，知道线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念，能正确地利用图解法解决线性规划问题，并用之解决简单的实际问题，了解线性规划方法在数学方面的应用；会用线性规划方法解决一些实际问题.
3．理解“曲线的方程”、“方程的曲线”的意义，了解解析几何的基本思想，掌握求曲线的方程的方法.
4．掌握圆的标准方程： （r＞0），明确方程中各字母的几何意义，能根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程，能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和半径，掌握圆的一般方程： ，知道该方程表示圆的充要条件并正确地进行一般方程和标准方程的互化，能根据条件，用待定系数法求出圆的方程，理解圆的参数方程 （θ为参数），明确各字母的意义，掌握直线与圆的位置关系的判定方法.
5．正确理解椭圆、双曲线和抛物线的定义，明确焦点、焦距的概念；能根据椭圆、双曲线和抛物线的定义推导它们的标准方程；记住椭圆、双曲线和抛物线的各种标准方程；能根据条件，求出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程；掌握椭圆、双曲线和抛物线的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率、准线（双曲线的渐近线）等，从而能迅速、正确地画出椭圆、双曲线和抛物线；掌握a、b、c、p、e之间的关系及相应的几何意义；利用椭圆、双曲线和抛物线的几何性质，确定椭圆、双曲线和抛物线的标准方程，并解决简单问题；理解椭圆、双曲线和抛物线的参数方程，并掌握它的应用；掌握直线与椭圆、双曲线和抛物线位置关系的判定方法.
二．考试要求：
(一)直线和圆的方程
1．理解直线的斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程。
2．掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系。
3．了解二元一次不等式表示平面区域。
4．了解线性规划的意义，并会简单的应用。
5．了解解析几何的基本思想，了解坐标法。
6．掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程。
(二)圆锥曲线方程
1．掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质。
2．掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质。
3．掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质。
4．了解圆锥曲线的初步应用。
三．过程：
（Ⅰ）基础知识详析
高考解析几何试题一般共有4题(2个选择题, 1个填空题, 1个解答题)，共计30分左右，考查的知识点约为20个左右。 其命题一般紧扣课本，突出重点，全面考查。选择题和填空题考查直线、圆、圆锥曲线、参数方程和极坐标系中的基础知识。解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点，通过知识的重组与链接，使知识形成网络，着重考查直线与圆锥曲线的位置关系，求解有时还要用到平几的基本知识和向量的基本方法，这一点值得强化。
(一)直线的方程
1.点斜式： ；2. 截距式： ；
3.两点式： ；4. 截距式： ；
5.一般式： ，其中A、B不同时为0.
(二)两条直线的位置关系
两条直线 ， 有三种位置关系：平行（没有公共点）；相交（有且只有一个公共点）；重合（有无数个公共点）.在这三种位置关系中，我们重点研究平行与相交.
设直线 ： = + ，直线 ： = + ，则
∥ 的充要条件是 = ，且 = ； ⊥ 的充要条件是 =-1.
(三)线性规划问题
1．线性规划问题涉及如下概念：
⑴存在一定的限制条件，这些约束条件如果由x、y的一次不等式（或方程）组成的不等式组来表示，称为线性约束条件.
⑵都有一个目标要求，就是要求依赖于x、y的某个函数（称为目标函数）达到最大值或最小值.特殊地，若此函数是x、y的一次解析式，就称为线性目标函数.
⑶求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题.
⑷满足线性约束条件的解（x，y）叫做可行解.
⑸所有可行解组成的集合，叫做可行域.
⑹使目标函数取得最大值或最小值的可行解，叫做这个问题的最优解.
2．线性规划问题有以下基本定理：
⑴ 一个线性规划问题，若有可行解，则可行域一定是一个凸多边形.
⑵ 凸多边形的顶点个数是有限的.
⑶ 对于不是求最优整数解的线性规划问题，最优解一定在凸多边形的顶点中找到.
3.线性规划问题一般用图解法.
(四)圆的有关问题
1.圆的标准方程
（r＞0），称为圆的标准方程，其圆心坐标为（a，b），半径为r.
特别地，当圆心在原点（0，0），半径为r时，圆的方程为 .
2.圆的一般方程
（ ＞0）称为圆的一般方程，
其圆心坐标为（ ， ），半径为 .
当 =0时，方程表示一个点（ ， ）；
当 ＜0时，方程不表示任何图形.
3.圆的参数方程
圆的普通方程与参数方程之间有如下关系：
（θ为参数）
（θ为参数）
(五)椭圆及其标准方程
1.椭圆的定义：椭圆的定义中，平面内动点与两定点 、 的距离的和大于 这个条件不可忽视.若这个距离之和小于 ，则这样的点不存在；若距离之和等于 ，则动点的轨迹是线段 .
2.椭圆的标准方程： （ ＞ ＞0）， （ ＞ ＞0）.
3.椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果 项的分母大于 项的分母，则椭圆的焦点在x轴上，反之，焦点在y轴上.
4.求椭圆的标准方程的方法：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.
(六)椭圆的简单几何性质
1.椭圆的几何性质：设椭圆方程为 （ ＞ ＞0）.
⑴ 范围： -a≤x≤a，-b≤x≤b，所以椭圆位于直线x= 和y= 所围成的矩形里.
⑵ 对称性：分别关于x轴、y轴成轴对称，关于原点中心对称.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.
⑶ 顶点：有四个 （-a，0）、 （a，0） （0，-b）、 （0，b）.
线段 、 分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点，称为椭圆的顶点.
⑷ 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比 叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平程度.0＜e＜1.e越接近于1时，椭圆越扁；反之，e越接近于0时，椭圆就越接近于圆.
2.椭圆的第二定义
⑴ 定义：平面内动点M与一个顶点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数 （e＜1＝时，这个动点的轨迹是椭圆.
⑵ 准线：根据椭圆的对称性， （ ＞ ＞0）的准线有两条，它们的方程为 .对于椭圆 （ ＞ ＞0）的准线方程，只要把x换成y就可以了，即 .
3.椭圆的焦半径：由椭圆上任意一点与其焦点所连的线段叫做这点的焦半径.
设 （-c，0）， （c，0）分别为椭圆 （ ＞ ＞0）的左、右两焦点，M（x，y）是椭圆上任一点，则两条焦半径长分别为 ， .
椭圆中涉及焦半径时运用焦半径知识解题往往比较简便.
椭圆的四个主要元素a、b、c、e中有 = + 、 两个关系，因此确定椭圆的标准方程只需两个独立条件.
(七)椭圆的参数方程
椭圆 （ ＞ ＞0）的参数方程为 （θ为参数）.
说明 ⑴ 这里参数θ叫做椭圆的离心角.椭圆上点P的离心角θ与直线OP的倾斜角α不同： ；
⑵ 椭圆的参数方程可以由方程 与三角恒等式 相比较而得到，所以椭圆的参数方程的实质是三角代换.
(八)双曲线及其标准方程
1.双曲线的定义：平面内与两个定点 、 的距离的差的绝对值等于常数2a（小于 ）的动点 的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件2a＜ ，这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.若2a= ，则动点的轨迹是两条射线；若2a＞ ，则无轨迹.
若 ＜ 时，动点 的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若 ＞ 时，轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”.
2.双曲线的标准方程： 和 （a＞0，b＞0）.这里 ，其中 =2c.要注意这里的a、b、c及它们之间的关系与椭圆中的异同.
3.双曲线的标准方程判别方法是：如果 项的系数是正数，则焦点在x轴上；如果 项的系数是正数，则焦点在y轴上.对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.
4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.
(九)双曲线的简单几何性质
1.双曲线 的实轴长为2a，虚轴长为2b，离心率 ＞1，离心率e越大，双曲线的开口越大.
2. 双曲线 的渐近线方程为 或表示为 .若已知双曲线的渐近线方程是 ，即 ，那么双曲线的方程具有以下形式：
，其中k是一个不为零的常数.
3.双曲线的第二定义：平面内到定点（焦点）与到定直线（准线）距离的比是一个大于1的常数（离心率）的点的轨迹叫做双曲线.对于双曲线 ，它的焦点坐标是（-c，0）和（c，0），与它们对应的准线方程分别是 和 .
在双曲线中，a、b、c、e四个元素间有 与 的关系，与椭圆一样确定双曲线的标准方程只要两个独立的条件.
(十)抛物线的标准方程和几何性质
1．抛物线的定义：平面内到一定点（F）和一条定直线（l）的距离相等的点的轨迹叫抛物线。这个定点F叫抛物线的焦点，这条定直线l叫抛物线的准线。
需强调的是，点F不在直线l上，否则轨迹是过点F且与l垂直的直线，而不是抛物线。
2．抛物线的方程有四种类型：
、 、 、 .
对于以上四种方程：应注意掌握它们的规律：曲线的对称轴是哪个轴，方程中的该项即为一次项；一次项前面是正号则曲线的开口方向向x轴或y轴的正方向；一次项前面是负号则曲线的开口方向向x轴或y轴的负方向。
3．抛物线的几何性质，以标准方程y2=2px为例
（1）范围：x≥0；
（2）对称轴：对称轴为y=0，由方程和图像均可以看出；
（3）顶点：O（0，0），注：抛物线亦叫无心圆锥曲线（因为无中心）；
（4）离心率：e=1，由于e是常数，所以抛物线的形状变化是由方程中的p决定的；
（5）准线方程 ；
（6）焦半径公式：抛物线上一点P（x1，y1），F为抛物线的焦点，对于四种抛物线的焦半径公式分别为（p＞0）：

（7）焦点弦长公式：对于过抛物线焦点的弦长，可以用焦半径公式推导出弦长公式。设过抛物线y2=2px（p＞O）的焦点F的弦为AB，A（x1，y1），B（x2，y2），AB的倾斜角为α，则有①AB=x +x +p

以上两公式只适合过焦点的弦长的求法，对于其它的弦，只能用“弦长公式”来求。
（8）直线与抛物线的关系：直线与抛物线方程联立之后得到一元二次方程：x +bx+c=0，当a≠0时，两者的位置关系的判定和椭圆、双曲线相同，用判别式法即可；但如果a=0，则直线是抛物线的对称轴或是和对称轴平行的直线，此时，直线和抛物线相交，但只有一个公共点。
(十一)轨迹方程
⑴ 曲线上的点的坐标都是这个方程的解；
⑵ 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线（图形或轨迹）.

（十二）注意事项
1． ⑴ 直线的斜率是一个非常重要的概念，斜率k反映了直线相对于x轴的倾斜程度.当斜率k存在时，直线方程通常用点斜式或斜截式表示，当斜率不存在时，直线方程为x=a（a∈R）.因此，利用直线的点斜式或斜截式方程解题时，斜率k存在与否，要分别考虑.
⑵ 直线的截距式是两点式的特例，a、b分别是直线在x轴、y轴上的截距，因为a≠0，b≠0，所以当直线平行于x轴、平行于y轴或直线经过原点，不能用截距式求出它的方程，而应选择其它形式求解.
⑶求解直线方程的最后结果，如无特别强调，都应写成一般式.
⑷当直线 或 的斜率不存在时，可以通过画图容易判定两条直线是否平行与垂直
⑸在处理有关圆的问题，除了合理选择圆的方程，还要注意圆的对称性等几何性质的运用，这样可以简化计算.
2. ⑴用待定系数法求椭圆的标准方程时，要分清焦点在x轴上还是y轴上，还是两种都存在.
⑵注意椭圆定义、性质的运用，熟练地进行a、b、c、e间的互求，并能根据所给的方程画出椭圆.
⑶求双曲线的标准方程 应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.
⑷双曲线 的渐近线方程为 或表示为 .若已知双曲线的渐近线方程是 ，即 ，那么双曲线的方程具有以下形式：
，其中k是一个不为零的常数.
⑸双曲线的标准方程有两个 和 （a＞0，b＞0）.这里 ，其中 =2c.要注意这里的a、b、c及它们之间的关系与椭圆中的异同.
⑹求抛物线的标准方程，要线根据题设判断抛物线的标准方程的类型，再求抛物线的标准方程，要线根据题设判断抛物线的标准方程的类型，再由条件确定参数p的值.同时，应明确抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程三者相依并存，知道其中抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程三者相依并存，知道其中一个，就可以求出其他两个.
（Ⅱ）范例分析
例1、求与直线3x+4y+12=0平行，且与坐标轴构成的三角形面积是24的直线l的方程。
分析：满足两个条件才能确定一条直线。一般地，求直线方程有两个解法，即用其中一个条件列出含待定系数的方程，再用另一个条件求出此参数。
解法一：先用“平行”这个条件设出l 的方程为3x+4y+m=0①再用“面积”条件去求m，∵直线l交x轴于 ，交y轴于 由 ，得 ，代入①得所求直线的方程为：
解法二：先用面积这个条件列出l的方程，设l在x轴上截距离a，在y轴上截距b，则有 ，因为l的倾角为钝角，所以a、b同号，ab=ab，l的截距式为 ，即48x+a2y-48a=0②又该直线与3x+4y+2=0平行，∴ ，∴ 代入②得所求直线l 的方程为
说明：与直线Ax+By+C=0平行的直线可写成Ax+By+C1=0的形式；与Ax+By+C=0垂直的直线的方程可表示为Bx-Ay+C2=0的形式。

例2、若直线mx+y+2=0与线段AB有交点，其中A(-2, 3)，B(3,2)，求实数m的取值范围。
解：直线mx+y+2=0过一定点C(0, -2)，直线mx+y+2=0实际上表示的是过定点(0, -2)的直线系，因为直线与线段AB有交点，则直线只能落在∠ABC的内部，设BC、CA这两条直线的斜率分别为k1、k2，则由斜率的定义可知，直线mx+y+2=0的斜率k应满足k≥k1或k≤k2， ∵A(-2, 3) B(3, 2)
∴
∴-m≥ 或-m≤ 即m≤ 或m≥
说明：此例是典型的运用数形结合的思想来解题的问题，这里要清楚直线mx+y+2=0的斜率-m应为倾角的正切，而当倾角在(0°,90°)或(90°,180°)内，角的正切函数都是单调递增的，因此当直线在∠ACB内部变化时，k应大于或等于kBC，或者k小于或等于kAC，当A、B两点的坐标变化时，也要能求出m的范围。

例3、已知x、y满足约束条件
x≥1，
x-3y≤-4，
3x+5y≤30，
求目标函数z=2x-y的最大值和最小值.
解：根据x、y满足的约束条件作出可行域，即如图所示的阴影部分（包括边界）.
作直线 ：2x-y=0，再作一组平行于 的直线 ：2x-y=t，t∈R.
可知，当 在 的右下方时，直线 上的点（x，y）满足2x-y＞0，即t＞0，而且直线 往右平移时，t随之增大.当直线 平移至 的位置时，直线经过可行域上的点B，此时所对应的t最大；当 在 的左上方时，直线 上的点（x，y）满足2x-y＜0，即t＜0，而且直线 往左平移时，t随之减小.当直线 平移至 的位置时，直线经过可行域上的点C，此时所对应的t最小.
x-3y+4=0，
由 解得点B的坐标为（5，3）；
3x+5y-30=0，
x=1，
由 解得点C的坐标为（1， ）.
3x+5y-30=0，
所以， =2×5-3=7； =2×1- = .

例4、某运输公司有10辆载重量为6吨的A型卡车与载重量为8吨的B型卡车，有11名驾驶员.在建筑某段高速公路中，该公司承包了每天至少搬运480吨沥青的任务.已知每辆卡车每天往返的次数为A型卡车8次，B型卡车7次；每辆卡车每天的成本费A型车350元，B型车400元.问每天派出A型车与B型车各多少辆，公司所花的成本费最低，最低为多少？
解：设每天派出A型车与B型车各x、y辆，并设公司每天的成本为z元.由题意，得
x≤10，
y≤5，
x+y≤11，
48x+56y≥60，
x，y∈N，
且z=350x+400y.
x≤10，
y≤5，
即 x+y≤11，
6x+7y≥55，
x，y∈N，
作出可行域，作直线 ：350x+400y=0，即7x+8y=0.
作出一组平行直线：7x+8y=t中（t为参数）经过可行域内的点和原点距离最近的直线，此直线经过6x+7y=60和y=5的交点A（ ，5），由于点A的坐标不都是整数，而x，y∈N，所以可行域内的点A（ ，5）不是最优解.
为求出最优解，必须进行定量分析.
因为，7× +8×5≈69.2，所以经过可行域内的整点（横坐标和纵坐标都是整数的点）且与原点最小的直线是7x+8y=10，在可行域内满足该方程的整数解只有x=10，y=0，所以（10，0）是最优解，即当 通过B点时，z=350×10+400×0=3500元为最小.
答：每天派出A型车10辆不派B型车，公司所化的成本费最低为3500元.

例5、已知点T是半圆O的直径AB上一点，AB=2、OT=t (0(1)写出直线 的方程；
（2）计算出点P、Q的坐标；
（3）证明：由点P发出的光线，经AB反射后，反射光线通过点Q.
解: (1 ) 显然 , 于是 直线 的方程为 ；
（2）由方程组 解出 、 ；
（3） , .
由直线PT的斜率和直线QT的斜率互为相反数知，由点P发出的光线经点T反射，反射光线通过点Q.
说明：需要注意的是, Q点的坐标本质上是三角中的万能公式, 有趣吗?

例6、设P是圆M：(x-5)2+(y-5)2=1上的动点，它关于A(9, 0)的对称点为Q，把P绕原点依逆时针方向旋转90°到点S，求SQ的最值。
解：设P(x, y)，则Q(18-x, -y)，记P点对应的复数为x+yi，则S点对应的复数为：
(x+yi)?i=-y+xi，即S(-y, x)
∴

其中 可以看作是点P到定点B(9, -9)的距离，共最大值为 最小值为 ，则
SQ的最大值为 ，SQ的最小值为

例7、 已知⊙M： 轴上的动点，QA，QB分别切⊙M于A，B两点，（1）如果 ，求直线MQ的方程；
（2）求动弦AB的中点P的轨迹方程.
解:（1）由 ，可得 由射影定理，得 在Rt△MOQ中，
，
故 ，
所以直线AB方程是

（2）连接MB，MQ，设 由
点M，P，Q在一直线上，得
由射影定理得
即 把（*）及（**）消去a，
并注意到 ，可得
说明：适时应用平面几何知识，这是快速解答本题的要害所在。

例8、直线 过抛物线 的焦点，且与抛物线相交于A 两点.（1）求证： ;
（2）求证：对于抛物线的任意给定的一条弦CD，直线l不是CD的垂直平分线.

解: （1）易求得抛物线的焦点 .
若l⊥x轴，则l的方程为 .
若l不垂直于x轴，可设 ,代入抛物线方程整理得 .
综上可知 .
（2）设 ，则CD的垂直平分线 的方程为
假设 过F，则 整理得

， .
这时 的方程为y=0，从而 与抛物线 只相交于原点. 而l与抛物线有两个不同的交点，因此 与l不重合，l不是CD的垂直平分线.
说明：此题是课本题的深化，课本是高考试题的生长点，复习要重视课本。

例9、已知椭圆 ，能否在此椭圆位于y轴左侧的部分上找到一点M，使它到左准线的距离为它到两焦点F1、F2距离的等比中项，若能找到，求出该点的坐标，若不能找到，请说明理由。
解：假设存在满足条件的点，设M（x1，y1）a2=4，b2=3，∴a=2， ，c=1，∴ ，
，点M到椭圆左准线的距离
，∴ ，∴ ，∴ 或 ，这与x1∈[-2，0)相矛盾，∴满足条件的点M不存在。
例10、已知椭圆中心在原点，焦点在 轴上，焦距为4，离心率为 ，
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设椭圆在y轴正半轴上的焦点为M，又点A和点B在椭圆上，且M分有向线段 所成的比为2，求线段AB所在直线的方程。
解：（Ⅰ）设椭圆方程为 由2c=4得c=2 又
故a=3， ∴所求的椭圆方程为
（Ⅱ）若k 不存在，则 ，若k 存在，则设直线AB的方程为：y=kx+2
又设A
由 得
① ②
∵点M坐标为M（0，2） ∴
由 ∴
∴ 代入①、②得 … ③ ④
由③、④ 得 ∴
∴线段AB所在直线的方程为： 。
说明：有向线段所成的比，线段的定比分点等概念，本身就是解析几何研究的一类重要问题。向量概念的引入，使这类问题的解决显得简洁而流畅。求解这类问题可以用定比分点公式，也可以直接用有向线段的比解题。
另外，向量的长度，点的平移等与解析几何都有着千丝万缕的联系，向量与解析几何的结合，为解决这些问题开辟了新的解题途径。

例11、已知直线l与椭圆 有且仅有一个交点Q，且与x轴、y轴分别交于R、S，求以线段SR为对角线的矩形ORPS的一个顶点P的轨迹方程．
解：从直线 所处的位置, 设出直线 的方程,
由已知，直线l不过椭圆的四个顶点，所以设直线l的方程为
代入椭圆方程 得

化简后，得关于 的一元二次方程

于是其判别式
由已知，得△=0．即 ①
在直线方程 中，分别令y=0，x=0，求得
令顶点P的坐标为（x，y）， 由已知，得
代入①式并整理，得 , 即为所求顶点P的轨迹方程．
说明：方程 形似椭圆的标准方程, 你能画出它的图形吗?
例12、已知双曲线 的离心率 ，过 的直线到原点的距离是 （1）求双曲线的方程；
（2）已知直线 交双曲线于不同的点C，D且C，D都在以B为圆心的圆上，求k的值.
解：∵（1） 原点到直线AB： 的距离 .
故所求双曲线方程为
（2）把 中消去y，整理得 .
设 的中点是 ，则


即
故所求k=± .
说明：为了求出 的值, 需要通过消元, 想法设法建构 的方程.

例13、过点 作直线 与椭圆3x2+4y2=12相交于A、B两点，O为坐标原点，求△OAB面积的最大值及此时直线倾斜角的正切值。
分析：若直接用点斜式设 的方程为 ，则要求 的斜率一定要存在，但在这里 的斜率有可能不存在，因此要讨论斜率不存在的情形，为了避免讨论，我们可以设直线 的方程为 ，这样就包含了斜率不存在时的情形了，从而简化了运算。
解：设A（x1，y1），B（x2，y2）， ：

把 代入椭圆方程得： ，即
， ，
∴ ，此时
令直线的倾角为 ，则
即△OAB面积的最大值为 ，此时直线倾斜角的正切值为 。

例14、（2003年江苏高考题）已知常数 ，向量
经过原点O以 为方向向量的直线与经过定点A（0，a）以 为方向向量的直线相交于点P，其中 试问：是否存在两个定点E、F，使得PE+PF为定值.若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由.
解：∵ =（1，0）， =（0，a）， ∴ +λ =（λ，a）， －2λ =（1，－2λa）.
因此，直线OP和AP的方程分别为 和 .
消去参数λ，得点 的坐标满足方程 .
整理得 ……①
因为 所以得：
（i）当 时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F；
（ii）当 时，方程①表示椭圆，焦点 和 为合乎题意的两个定点；
（iii）当 时，方程①也表示椭圆，焦点 和 为合乎题意的两个定点.
说明：由于向量可以用一条有向线段来表示，有向线段的方向可以决定解析几何中直线的斜率，故直线的方向向量与解析几何中的直线有着天然的联系。求解此类问题的关键是：根据直线的方向向量得出直线方程，再转化为解析几何问题解决。

例15、已知椭圆 的长、短轴端点分别为A、B，从此椭圆上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点 ，向量 与 是共线向量。
（1）求椭圆的离心率e；
（2）设Q是椭圆上任意一点， 、 分别是左、右焦点，求∠ 的取值范围；
解：（1）∵ ，∴ 。
∵ 是共线向量，∴ ，∴b=c,故 。
（2）设

当且仅当 时，cosθ=0，∴θ 。
说明：由于共线向量与解析几何中平行线、三点共线等具有异曲同工的作用，因此，解析几何中与平行线、三点共线等相关的问题均可在向量共线的新情景下设计问题。求解此类问题的关键是：正确理解向量共线与解析几何中平行、三点共线等的关系，把有关向量的问题转化为解析几何问题。

例16、一条斜率为1的直线 与离心率为 的椭圆C： （ ）交于P、Q，两点，直线 与Y轴交于点R，且 ， ，求直线 和椭圆C的方程。
解： 椭圆离心率为 ， ，
所以椭圆方程为 ，设 方程为： ，
由 消去 得

……（1） ……（2）
所以
而
所以
所以 ……（3）又 ， ， 从而 ……（4） 由（1）（2）（4）得 ……（5）
由（3）（5）解得 ， 适合 ，
所以所求直线 方程为： 或 ；椭圆C的方程为
说明：向量数量积的坐标表示，构建起向量与解析几何的密切关系，使向量与解析几何融为一体。求此类问题的关键是：利用向量数量积的坐标表示，沟通向量与解析几何的联系。体现了向量的工具性。

例17、已知椭圆C的中心在原点，焦点F1、F2在x轴上，点P为椭圆上的一个动点，且∠F1PF2的最大值为90°，直线l过左焦点F1与椭圆交于A、B两点，△ABF2的面积最大值为12．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）求椭圆C的方程．
解法一：（1）设 , 对 由余弦定理, 得

， 解出
（2）考虑直线 的斜率的存在性，可分两种情况：
i) 当k存在时，设l的方程为 ………………①
椭圆方程为
由 得 .
于是椭圆方程可转化为 ………………②
将①代入②，消去 得 ,
整理为 的一元二次方程，得 .
则x1、x2是上述方程的两根．且
，
，
AB边上的高


ii) 当k不存在时，把直线 代入椭圆方程得

由①②知S的最大值为 由题意得 =12 所以
故当△ABF2面积最大时椭圆的方程为：
解法二：设过左焦点的直线方程为： …………①
椭圆的方程为：
由 得： 于是椭圆方程可化为： ……②
把①代入②并整理得：
于是 是上述方程的两根.
,
AB边上的高 ,
从而

当且仅当m=0取等号，即
由题意知 , 于是 .
故当△ABF2面积最大时椭圆的方程为：

例18、（2002年天津高考题）已知两点M（-1，0），N（1，0）且点P使 成公差小于零的等差数列，
（Ⅰ）点P的轨迹是什么曲线？
（Ⅱ）若点P坐标为 ， 为 的夹角，求tanθ。
解：（Ⅰ）记P（x,y），由M（-1，0）N（1，0）得

所以

于是， 是公差小于零的等差数列等价于
即
所以，点P的轨迹是以原点为圆心， 为半径的右半圆。
（Ⅱ）点P的坐标为 。 。
因为 0〈 ， 所以
说明：在引入向量的坐标表示后，可以使向量运算代数化，这样就可以将“形”和“数”紧密地结合在一起。向量的夹角问题融入解析几何问题中，也就显得十分自然。求解这类问题的关键是：先把向量用坐标表示，再用解析几何知识结合向量的夹角公式使问题获解；也可以把两向量夹角问题转化为两直线所成角的问题，用数形结合方法使问题获解。

（Ⅲ）、强化训练
1、已知P是以 、 为焦点的椭圆 上一点，若 ，则椭圆的离心率为 （ ）
（A） （B） （C） （D）
2、已知△ABC的顶点A(3, -1)，AB边上的中线所在直线的方程为6x+10y-59=0，∠B的平分线所在直线的方程为：x-4y+10=0，求边BC所在直线的方程。
3、求直线l2：7x-y+4=0到l1：x+y-2=0的角平分线的方程。
食物P食物Q食物R
维生素A（单位/kg）400600400
维生素B（单位/kg）800200400
成本（元/kg）654
4、已知三种食物P、Q、R的维生素含量与成本如下表所示.

现在将xkg的食物P和ykg的食物Q及zkg的食物R混合，制成100kg的混合物.如果这100kg的混合物中至少含维生素A44 000单位与维生素B48 000单位，那么x，y，z为何值时，混合物的成本最小？
5、某人有楼房一幢，室内面积共180 ，拟分隔成两类房间作为旅游客房.大房间每间面积为18 ，可住游客5名，每名游客每天住宿费为40元；小房间每间面积为15 ，可住游客3名，每名游客每天住宿费为50元.装修大房间每间需1000元，装修小房间每间需600元.如果他只能筹款8000元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，能获得最大收益？
6、已知△ABC三边所在直线方程AB：x-6=0，BC：x-2y-8=0，CA：x+2y=0，求此三角形外接圆的方程。
7、已知椭圆x2+2y2=12，A是x轴正方向上的一定点，若过点A，斜率为1的直线被椭圆截得的弦长为 ，求点A的坐标。
8、已知椭圆 （a＞b＞0）上两点A、B，直线 上有两点C、D，且ABCD是正方形。此正方形外接圆为x2+y2-2y-8=0，求椭圆方程和直线 的方程。
9、求以直线 为准线，原点为相应焦点的动椭圆短轴MN端点的轨迹方程。
10、若椭圆的对称轴在坐标轴上，两焦点与两短轴端点正好是正方形的四个顶点，又焦点到同侧长轴端点的距离为 ，求椭圆的方程。
11、已知直线 与椭圆 相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线 上.
（１）求此椭圆的离心率；
（2 ）若椭圆的右焦点关于直线 的对称点的在圆 上，求此椭圆的方程.
12、设A（x1，y1）为椭圆x2+2y2=2上任意一点，过点A作一条直线 ，斜率为 ，又设d为原点到直线 的距离,r1、r2分别为点A到椭圆两焦点的距离。求证： 为定值。
13、 某工程要将直线公路l一侧的土石，通过公路上的两个道口A和B，沿着道路AP、BP运往公路另一侧的P处，PA=100m，PB=150m，∠APB=60°，试说明怎样运土石最省工？
14、已知椭圆 （a＞b＞0），P为椭圆上除长轴端点外的任一点，F1、F2为椭圆的两个焦点，（1）若 ， ，求证：离心率 ；（2）若 ，求证： 的面积为 。
15、在Rt△ABC中，∠CBA=90°，AB=2，AC= 。DO⊥AB于O点，OA=OB，DO=2，曲线E过C点，动点P在E上运动，且保持 PA + PB 的值不变.
（1）建立适当的坐标系，求曲线E的方程；
（2）过D点的直线L与曲线E相交于不同的两点M、N且M在D、N之间，设 ，
试确定实数 的取值范围．
16、 （2004年北京春季高考） 已知点A（2，8）， 在抛物线 上， 的重心与此抛物线的焦点F重合（如图）

（I）写出该抛物线的方程和焦点F的坐标；
（II）求线段BC中点M的坐标； （III）求BC所在直线的方程。

（Ⅳ）、参考答案
1、解：设c为为椭圆半焦距，∵ 　∴
又 ∴
解得： 选（D）。
说明：垂直向量的引入为解决解析几何问题开辟了新思路。求解此类问题的关键是利用向量垂直的充要条件：“ ”，促使问题转化，然后利用数形结合解决问题。
2、解：设B(a, b)，B在直线BT上，∴a-4b+10=0① 又AB中点 在直线CM上，∴点M的坐标满足方程6x+10y-59=0 ∴ ② 解①、②组成的方程组可得a=10，b=5 ∴B(10, 5)，又由角平分线的定义可知，直线BC到BT的角等于直线BT到直线BA的角，又 ∴ ∴ ，∴BC所在直线的方程为 即2x+9y-65=0
3、解法一：设l2到l1角平分线l的斜率为k，∵k1=-1，k2=7
∴ ，解之得k=-3或 ，由图形可知k<0，
∴k=-3，又由 解得l1与l2的交点 ，
由点斜式得 即6x+2y-3=0
解法二：设l2到l1的角为θ，则 ，所以角θ为锐角，而 ，由二倍角公式可知 ∴ 或 为锐角，
∴ ，∴k=-3等同解法一。
解法三：设l：(x+y-2)+λ(7x-y+4)=0 即(1+7λ)x+(1-λ)y+(4λ-2)=0①
∴ ，由解法一知 ，∴ ，代入①化简即得：6x+2y-3=0
解法四：用点到直线的距离公式，设l上任一点P(x, y)，则P到l1与l2的距离相等。
∴ 整理得：6x+2y-3=0与x-3y+7=0，又l是l2到l1的角的平分线，
k<0，∴x-3y+7=0不合题意所以所求直线l的方程为6x+2y-3=0.
4、分析：由x+y+z=100，得z=100-x-y，所以上述问题可以看作只含x，y两个变量.设混合物的成本为k元，那么k=6x+5y+4（100-x-y）=2x+y+400.于是问题就归结为求k在已知条件下的线性规划问题.
解：已知条件可归结为下列不等式组：
x≥0，
y≥0，
x+y≤100，
400x+600y+400（100-x-y）≥44000，
800x+200y+400（100-x-y）≥48000.
x+y≤100，
即 y≥20， ①
2x-y≥40.
在平面直角坐标系中，画出不等式组①所表示的平面区域，这个区域是直线x+y=100，y=20，2x-y=40围成的一个三角形区域EFG（包括边界），即可行域，如图所示的阴影部分.
设混合物的成本为k元，那么k=6x+5y+4（100-x-y）=2x+y+400.
作直线 ：2x+y=0，把直线 向右上方平移至 位置时，直线经过可行域上的点E，且与原点的距离最小，此时2x+y的值最小，从而k的值最小.
2x-y=40， x=30，
由 得 即点E的坐标是（30，20）.
y=20， y=20，
所以， =2×30+20+400=480（元），此时z=100-30-20=50.
答：取x=30，y=20，z=50时，混合物的成本最小，最小值是480元.

5、解：设隔出大房间x间，小房间y间时收益为z元，则x、y满足
18x+15y≤180，
1000x+600y≤8000，
x，y∈N，
且 z=200x+150y.
所以 6x+5y≤60，
5x+3y≤40，
x，y∈N，
作出可行域及直线 ：200x+150y=0，即4x+3y=0.（如图4）
把直线 向上平移至 的位置时，直线经过可行域上的点B，且与原点距离最大.此时，z=200x+150y取最大值.但解6x+5y=60与5x+3y=40联立的方程组得到B（ ， ）.由于点B的坐标不是整数，而x，y∈N，所以可行域内的点B不是最优解.
为求出最优解，同样必须进行定量分析.
因为4× +3× = ≈37.1，但该方程的非负整数解（1，11）、（4，7）、（7，3）均不在可行域内，所以应取4x+3y=36.同样可以验证，在可行域内满足上述方程的整点为（0，12）和（3，8）.此时z取最大值1800元.

6、解：解方程组可得A(6, -3)、B(6, -1)、C(4, 2)设方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，则：

解之得：D= ，E=4，F=30
所以所求的△ABC的外接圆方程为：

7、分析：若直线y=kx+b与圆锥曲线f（x，y）=0相交于两点P（x1，y1）、Q（x2、y2），则弦PQ的长度的计算公式为 ，而
，因此只要把直线y=kx+b的方程代入圆锥曲线f（x，y）=0方程，消去y（或x），结合一元二次方程根与系数的关系即可求出弦长。
解：设A（x0，0）（x0＞0），则直线 的方程为y=x-x0，设直线 与椭圆相交于P（x1，y1），
Q（x2、y2），由 y=x-x0 可得3x2-4x0x+2x02-12=0，
x2+2y2=12
， ，则

∴ ，即
∴x02=4，又x0＞0，∴x0=2，∴A（2，0）。

8、解：圆方程x2+y2-2y-8=0即x2+(y-1)2=9的圆心O＇（0，1），半径r=3。
设正方形的边长为p，则 ，∴ ，又O＇是正方形ABCD的中心，∴O＇到直线y=x+k的距离应等于正方形边长p的一半即 ，由点到直线的距离公式可知k=-2或k=4。
（1）设AB：y=x-2 由 y=x-2
CD：y=x+4 x2+y2-2y-8=0
得A（3，1）B（0，-2），又点A、B在椭圆 上，∴a2=12，b2=4，椭圆的方程为 。
（2）设AB：y=x+4，同理可得两交点的坐标分别为（0，4），（-3，1）代入椭圆方程得
，此时b2＞a2（舍去）。
综上所述，直线 方程为y=x+4，椭圆方程为 。

9、分析：已知了椭圆的焦点及相应准线，常常需要运用椭圆的第二定义：椭圆上的点到焦点的距离与到相应准线的距离之比等于离心率e，而该题中短轴端点也是椭圆上的动点，因此只要运用第二定义结合a、b、c的几何意义即可。
解：设M（x，y），过M作 于A， ， ，∴ ，又过M作 轴于O＇，因为点M为短轴端点，则O＇必为椭圆中心，
∴ ， ，∴ ，∴ 化简得y2=2x，∴短轴端点的轨迹方程为y2=2x（x≠0）。

10、解：若椭圆的焦点在x轴上，如图，∵四边形B1F1B2F2是正方形，且A1F1= ，由椭圆的几何意义可知， 解之得： ，此时椭圆的方程为 ，同理焦点也可以在y轴上，综上所述，椭圆的方程为 或 。
11、解:（1）设A、B两点的坐标分别为 得
,
根据韦达定理，得

∴线段AB的中点坐标为（ ）.
由已知得
故椭圆的离心率为 .
（2）由（1）知 从而椭圆的右焦点坐标为 设 关于直线 的对称点为
解得
由已知得
故所求的椭圆方程为 .

12、分析：根据椭圆的第二定义，即到定点的距离与到定直线的距离之比等于常数e（0＜e＜1）的点的轨迹是椭圆，椭圆 上任一点P（x1，y1）到左焦点F1的距离PF1=a+ex1，到右焦点F2的距离PF2=a-ex1；同理椭圆 上任一点P（x1，y1）到两焦点的距离分别为a+ey1和a-ey1，这两个结论我们称之为焦半径计算公式，它们在椭圆中有着广泛的运用。
解：由椭圆方程 可知a2=2，b2=1则c=1，∴离心率 ，由焦半径公式可知， 。又直线 的方程为：
即x1x+2y1y-2=0，由点到直线的距离公式知， ，又点（x1，y1）在椭圆上，∴2y12=2=x12，
∴ ，
∴ 为定值。

13、解: 以直线l为x轴，线段AB的中点为原点对立直角坐标系，则在l一侧必存在经A到P和经B到P路程相等的点，设这样的点为M，则
MA+AP=MB+BP,
即 MA－MB=BP－AP=50,
,
∴M在双曲线 的右支上.
故曲线右侧的土石层经道口B沿BP运往P处，曲线左侧的土石层经道口A沿AP运往P处，按这种方法运土石最省工.
相关解析几何的实际应用性试题在高考中似乎还未涉及，其实在课本中还可找到典型的范例，你知道吗？

14、分析： 的两个顶点为焦点，另一点是椭圆上的动点，因此 ，F1F2=2c，所以我们应以 为突破口，在该三角形中用正弦定理或余弦定理，结合椭圆的定义即可证得。
证明：（1）在 中，由正弦定理可知 ，则
∴
∴
（2）在 中由余弦定理可知
y
∴
∴ 。

15、解: （1）建立平面直角坐标系, 如图所示 .
∵ PA + PB = CA + CB =
∴动点P的轨迹是椭圆 .
∵
∴曲线E的方程是 .
（2）设直线L的方程为 , 代入曲线E的方程 ，得

设M1（ , 则

i) L与y轴重合时，
ii) L与y轴不重合时，
由①得 又∵ ,
∵ 或
∴0＜ ＜1 , ∴ .
∵
而 ∴ ∴
∴ , ,
∴ 的取值范围是 。
16、分析：本小题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力。
解：（I）由点A（2，8）在抛物线 上，有 解得
所以抛物线方程为 ，焦点F的坐标为（8，0）
（II）如图，由F（8，0）是 的重心，M是BC的中点，所以F是线段AM的定比分点，且 设点M的坐标为 ，则
解得 所以点M的坐标为

（III）由于线段BC的中点M不在x轴上，所以BC所在的直线不垂直于x轴。
设BC所成直线的方程为
由 消x得
所以 由（II）的结论得 解得
因此BC所在直线的方程为 即 。

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