三角函数、解三角形章末测试（有答案）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的)
1．已知α是第一象限角，tan α＝34，则sin α等于( )
A.45 B.35 C．－45 D．－35
解析 B 由2kπ＜α＜π2＋2kπk∈Z，sin αcos α＝34，sin2α＋cos2α＝1，得sin α＝35.
2．在△ABC中，已知sin(A－B)cos B＋cos(A－B)sin B≥1，则△ABC是( )
A．直角 三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
解析 A sin(A－B)cos B＋cos(A－B)sin B＝sin[(A－B)＋B]＝sin A≥1，
又sin A≤1，∴sin A＝1，A＝90°，故△ABC为直角三角形．
3．在△ABC中，∠A＝60°，AC＝16，面积为2203，那么BC的长度为( )
A．25 B．51 C．493 D．49
解析 D 由S△ABC＝12•AB•ACsin 60°＝43AB＝2203，得AB＝55，再由余弦定理，
有BC2＝162＋552－2×16×55×cos 60°＝2 401，得BC＝49.
4．设α，β都是锐角，那么下列各式中成立的是( )
A．sin(α＋β)>sin α＋sin β B．cos(α＋β)>cos αcos β
C．sin(α＋β)>sin(α－β) D．cos(α＋β)>cos(α－β)
解析 C ∵sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，
又∵α、β都是锐角，∴cos αsin β>0，故sin(α＋β)>sin(α－β)．
5．张晓华同学骑电动自行车以24 km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A 处望见电
视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15 min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东
75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是( )
A．22 km B．32 km C．33 km D．23 km
解析 B 如图，由条件知AB＝24×1560＝6 .在△ABS中，∠BAS＝30°，
AB＝6，∠ABS＝180°－75°＝105°，所以∠ASB＝45°.
由正弦定理知BSsin 30°＝ABsin 45°，
所以BS＝ABsin 30°sin 45°＝32.故选B.
(2011•威海一模)若函数y＝Asin(ωx＋φ)＋m的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，
直线x＝π3是其图象的一条对称轴，则它的解析式是( )
A．y＝4sin4x＋π6 B．y＝2sin2x＋π3＋2
C．y＝2sin4x＋π3 ＋2 D．y＝2sin4x＋π6＋2
解析 D ∵A＋m＝4，－A＋m＝0，∴A＝2，m＝2.
∵T＝π2，∴ω＝2πT＝4.∴y＝2sin(4x＋φ)＋2.
∵x＝π3是其对称轴，∴sin4×π3＋φ＝±1.
∴4π3＋φ＝π2＋kπ(k∈Z)．∴φ ＝kπ－5π6(k∈Z)．
当k＝1时，φ＝π6，故选D.
7．函数y＝sin(2x＋φ)(0≤φ≤π)是R上的偶函数，则φ的值是( )
A．0 B.π4 C.π2 D．π
解析 C 当φ＝π2时，y＝sin2x＋π2＝c os 2x，而y＝cos 2x是偶函数．
8．在△ABC中“cos A＋sin A＝cos B＋sin B”是“C＝90°”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析 B C＝90°时，A与B互余，sin A＝cos B，cos A＝sin B，有cos A＋sin A＝cos B＋sin B成立；但当A＝B时，也有cos A＋sin A＝cos B＋sin B成立，故“cos A＋sin A＝cos B＋sin B”是“C＝90°”的必要不充分条件．
9．△ABC的三边分别为a，b，c，且满足b2＝ac,2b＝a＋c，则此三角形是( )
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
解析 D ∵2b＝a＋c，∴4b2＝(a＋c)2，
又∵b2＝ac，∴(a－c)2＝0，∴a＝c，∴2b＝a＋c＝2a，
∴b＝a，即a＝b＝c.
10．f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)在x＝1处取最大值，则( )
A．f(x－1)一定是奇函数 B．f(x－1)一定是偶函数
C．f(x＋1)一定是奇函数 D．f(x＋1)一定是偶函数
解析 D ∵f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)在x＝1处取最大值，∴f(x＋1)在x＝0处取最大值，即y轴是函数f(x＋1)的对称轴，∴函数f(x＋1)是偶函数．
11．函数y＝sin2x－π3在区间－π2，π上的简图是( )
解析 A 令x＝0得y＝sin－π3＝－32，排除B，D.由f－π3＝0，fπ6＝0，排除C.
12．若tan α＝lg(10a)，tan β＝lg1a，且α＋β＝π4，则实数a的值为( )
A．1 B.110 C．1或110 D．1或10
解析 C tan(α＋β)＝1⇒tan α＋tan β1－tan αtanβ＝lg10a＋lg1a1－lg10a•lg1a＝1⇒lg2a＋lg a＝0，
所以lg a＝0或lg a＝－1，即a＝1或110.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．(2011•黄冈模拟)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)的图象如图所
示，fπ2＝－23，则f(0)＝________.
解析 由图象可得最小正周期为2π3. 所以f(0)＝f2π3，注意到2π3与π2关于7π12对称，
故f2π3＝－fπ2＝23.
【答案】 23
14．设a、b、c分别是△ABC中角A、B、C所对的边，sin2A＋sin2B－sin Asin B＝sin2C，且
满足ab＝4，则△ABC的面积 为________．
解析 由sin2A＋sin2B－sin Asin B＝sin2C，得a2＋b2－ab＝c2，∴2cos C＝1.∴C＝60°.
又∵ab＝4，∴S△ABC＝12absin C＝12×4×sin 60°＝3.
【答案】 3
15．在直径为30 m的圆形广场中央上空，设置一个 照明光源，射向地面的光呈圆形，且其
轴截面顶角为120°，若要光源恰好照亮整个广场，则光源的
高度为________m.
解析 轴截面如图，则光源高度h＝15tan 60°＝53(m)．
【答案】 53
16. 如图所示，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C，各段弧所在的圆经过同一点P(点P不在C上)且半径相等．设第i段弧所对的圆心角为αi(i＝1,2,3)，则cosα13cosα2＋α33－sinα13sinα2＋α33＝________.
解析 记相应的三个圆的圆心分别是O1，O2，O3，半径为r，依题意知，可考虑特殊情
形，从而求得相应的值．当相应的每两个圆的公共弦都恰好等于圆半径时，易知
有α1＝α2＝α3＝2π－2π3＝4π3，此时cosα13cosα2＋α33－sinα13sinα2＋α33
＝cosα1＋α2＋α33＝cos4π3＝cos&pi,
高中英语;＋π3＝－cosπ3＝－12.
【答案】 －12
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)在△ABC中，如果lg a－lg c＝lg sin B＝lg22，且B为锐角，试判断此三角形的形状．
解析 ∵lg sin B＝lg22，∴sin B＝22，
∵B为锐角，∴B＝45°.
又∵lg a－lg c＝lg22，∴ac＝22.
由正弦定理，得sin Asin C＝22，
∴2sin C＝2sin A＝2sin(135°－C)，
即sin C＝sin C＋cos C，∴cos C＝0，∴C＝90°，
故△ABC为等腰直角三角形．
18．(12分)已知函数f(x)＝2cos2ωx＋2sin ωxcos ωx＋1(x∈R，ω＞0)的最小正周期是π2.
(1)求ω 的值；
(2)求函数f(x)的最大值，并且求使f(x)取得最大值的x的集合．
解析 (1)f(x)＝1＋cos 2ωx＋sin 2ωx＋1
＝sin 2ωx＋cos 2ωx＋2
＝2sin2ωx＋π4＋2.
由题设，函数f(x)的最小正周期是π2，可得2π2ω＝π2，
所以ω＝2.
(2)由(1)知，f(x)＝2sin4x＋π4＋2.
当4x＋π4＝π2＋2kπ(k∈Z)，即x＝π16＋kπ2(k∈Z)时，
sin4x＋π4取得最大值1，所以函数f(x)的最大值是2＋2，此时x的集合为xx＝π16＋kπ2，k∈Z.
19．(12分)在△ABC 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin Aa＝3cos Cc.
(1)求角C的大小；
(2)如果a＋b＝6，CA→•CB→＝4，求c的值．
解析 (1)因为asin A＝csin C，sin Aa＝3cos Cc，
所以sin C＝3cos C．所以tan C＝3.
因为C∈(0，π)，所以C＝π3.
(2)因为CA→•CB→＝CA→•CB→cos C＝12ab＝4，
所以ab＝8.因为a＋b＝6，根据余弦定理，得
c2＝a2＋b2－2abcos C＝(a＋b)2－3ab＝12.
所以c的值为23.
20．(12分)在△ABC中，a， b，c分别是角A，B，C的对边，m＝(2b－c，cos C)，n＝(a，cos A)，且m∥n.
(1)求角A的大小；
(2)求y＝2sin2B＋cosπ3－2B的值域．
解析 (1)由m∥n得(2b－c)•cos A－acos C＝0.
由正弦定理得2sin Bcos A－sin Ccos A－sin Acos C＝0.
所以2sin Bcos A－sin(A＋C)＝0，
即2sin Bcos A－sin B＝0.
因为A，B∈(0，π)，所以sin B≠0，cos A＝12，
所以A ＝π3.
(2)y＝2sin2B＋cosπ3cos 2B＋sinπ3sin 2B
＝1－12cos 2B＋32sin 2B
＝sin2B－π6＋1.
由(1)得0<B<2π3，所以－π6<2B－π6<7π6，
所以sin2B－π6∈－12，1，所以y∈12，2.
21．(12分)设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)的图象过点π8，－1.
(1)求φ；
(2)求函数y＝f(x)的周期和单调增区间；
(3)画出函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图象．
解析 (1)∵f(x)＝sin(2x＋φ)的图象过点π8，－1，
∴－1＝sinπ4＋φ，∴φ＋π4＝2kπ－π2(k∈Z)，
又φ∈(－π，0)，∴φ＝－3π4.∴f(x)＝sin2x－3π4.
(2)由题意，T＝2π2＝π，由(1)知f(x)＝sin2x－3π4，
由2kπ－π2≤2x－3π4≤2kπ＋π2(k∈Z)得增区间为kπ＋π8，kπ＋5π8(k∈Z)．
(3)f(x)在[0，π]上的图象如图：
22．(12分)已知sinα－π4＝35，π4<α<3π4.
(1)求cosα－π4的值；
(2)求sin α的值．
解析 (1)∵sinα－π4＝35，且π4<α<3π4，
∴0<α－π4<π2，∴cosα－π4＝ 45.
(2)sin α＝sinα－π4＋π4＝sinα－π4cosπ4＋cosα－π4sinπ4＝7210.
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