平衡条件的应用

平衡条件的应用
[本章本节概述]
本章讲述有关力的基本知识，包括了以后学习的动力学和静力学所必须的预备知识，基础性和预备性仍然是本章的特点。
力学平衡状态是比较常见的力学状态，研究物体力学平衡状态的种类，保持平衡状态的条件，是本章的主要任务。物体的力学状态与物体的受力情况紧密联系。研究物体的平衡状态，归根结底就是研究物体的受力情况、研究物体保持平衡状态的受力条件。
力的平衡要有正确的思路：首先确定研究对象，其次是正确分析物体的受力，然后根据平衡条件列方程求解。对于比较简单的问题，可以用直角三角形的知识求解，对于不成直角的受力问题可以用正交分解方法求解。
[设计]
目标 ：
1.能用共点力的平衡条件，解决有关力的平衡问题；
2.进一步学习受力分析，正交分解等方法。
3.学会使用共点力平衡条件解决共点力作用下物体平衡的思路和方法，培养灵活分析和解决问题的能力。
教学重点：
共点力平衡条件的应用。
教学难点：
受力分析，正交分解法，共点力平衡条件的应用。
教学方法：
以题引法，讲练法，启发诱导，归纳法。
课时安排：1~2课时
[教学过程]：

解共点力平衡问题的一般步骤：

一、复习导入：
复习
（1）如果一个物体能够保持 静止或 匀速直线运动，我们就说物体处于平衡状态。
（2）当物体处于平衡状态时
a：物体所受各个力的合力等于 0 ，这就是物体在共点力作用下的平衡条件。
b：它所受的某一个力与它所受的其余外力的合力关系是 大小相等，方向相反 ，作用在一条直线上 。
教师归纳：
平衡状态: 匀速直线运动状态，或保持静止状态。
平衡条件: 在共点力作用下物体的平衡条件是合力为零。即
F合＝0
以力的作用点为坐标原点,建立直角坐标系,则平衡条件又可表示为:
Fx＝0 Fy＝0
二 、新课教学：
例题1
如图，一物块静止在倾角为37°的斜面上，物块的重力为20N，请分析物块受力并求其大小．
　　分析：物块受竖直向下的重力 G，斜面给物块的垂直斜面向上的支持力 N，斜面给物块的沿斜面向上的静摩擦力 f．

解：方法1——用合成法
　　（1）合成支持力 N和静摩擦力 f，其合力的方向竖直向上，大小与物块重力大小相等；
　　（2）合成重力 G和支持力 N，其合力的方向沿斜面向下，大小与斜面给物块的沿斜面向上的静摩擦力 f的大小相等；
（3）合成斜面给物块的沿斜面向上的静摩擦力 f和重力G，其合力的方向垂直斜面向下，大小与斜面给物块的垂直斜面向上的支持力N的大小相等．
合成法的讲解要注意合力的方向的确定是唯一的，这有共点力平衡条件决定，关于这一点一定要与学生共同分析说明清楚．（三力平衡：任意两个力的合力与第三个力大小相等、方向相反）
　　方法2——用分解法
　　理论上物块受的每一个力都可分解，但实际解题时要根据实际受力情况来确定分解哪个力(被确定分解的力所分解的力大小方向要明确简单易于计算)，本题正交分解物块所受的重力 ，利用平衡条件 ， ，列方程较为简便．
（为了学生能真正掌握物体的受力分析能力，要求学生全面分析使用力的合成法和力的分解法，要有一定数量的训练．）
总结：解共点力平衡问题的一般步骤：
1、选取研究对象。
2、对所选取的研究对象进行受力分析，并画出受力图。
3、对研究对象所受力进行处理，选择适当的方法：合成法、分解法、正交分解法等。
4、建立适当的平衡方程。
5、对方程求解，必要时需要进行讨论。
　　 拓展1： 一物块静止在倾角为 的斜面上，物块的重力为 G，请分析物块受力并分析当倾角 慢慢减小到零的过程其大小的变化情况．
　　 解：依题意 用分解法将物块受的重力 G正交分解，利用 ， 的平衡条件，得斜面给物块的垂直斜面向上的支持力 N的大小为 ，
　　斜面给物块的沿斜面向上的静摩擦力 的大小 ．
　　物块受的重力 G是不变的(关于这一点学生非常清楚)，根据数学的知识的分析可以知道当倾角 慢慢减小到零的过程，
　　 逐渐增大，最后等于物块的重力 G；
　　 逐渐减小，最后等于零．
　　（适当的时候，提醒学生分析的方法和结论；提醒学生极限法的应用，即倾角 等于零时的极限情况下分析题目）
　　拓展2：一物块放在倾角为 的斜面上，物块的重力为 G，斜面与物块的动摩擦因数为 ，请分析物块受力的方向并分析当倾角 慢慢由零增大到90°的过程，物块对斜面的压力及受到的摩擦力大小的变化情况．
　　分析物块受力： 时，只受两个力重力 G和斜面给的支持力 N，此时没有摩擦力；
　　　 时，物块只受一个力，物块的重力 G．(此亦为极限法处理)．
　　借此，和学生一起分析，可知物块的运动状态是变化的，既开始时物块静止在斜面上，这时物块受三个力．物块的重力 G，斜面给物块的支持力 N和斜面给物块的静摩擦力 f．
　　在斜面给物块的静摩擦力 f等于 时，物块开始滑动，此时物块依旧受三个力， 物块的重力 G，斜面给物块的支持力 N和斜面给物块的滑动摩擦力 f．物块处于加速运动状态．(这里学习应用了运动性质的分段处理方法)．在此基础上分析每个力的大小变化情况．(利用物体平衡条件和滑动摩擦力的性质来分析求解)．
重力大小不变；斜面给物块的支持力的大小逐渐减小；斜面给物块的摩擦力的大小是先增大后减小．
课堂练习（详解）
如图所示,电灯的质量为m ,BO与顶板间的夹角为α,AO绳水平,求绳AO、BO受到的拉力F1 、F2 是多少？
［分析］取电灯作为研究对象，分析它受到那些力的作用。如图乙所示。它共受到三个力的作用：重力G＝mg，悬绳的拉力F1F2.
解法一:合成法
取电灯为研究对象。由共点力的平衡条件可知，F1和mg的合力F与F2大小相等、方向相反。从图示的平行四边形可求得：

解法二:正交分解法
解:取电灯作为研究对象,受三个共点力作用.以水平方向为x轴,竖直方向为y轴,将F2 分解在X轴和Y轴方向进行分解,由平衡条件可知,FX合=0和FY合=0
Fx合=F1 ? F2sinα=0 （1）
Fy合=F2cosa-G=0 （2）
由（2）式解得：F2=mg/cosa
代入（1）式得:F1=F2sina=mgtga
解法三：分解法
取电灯为研究对象，受三个共点力作用，如图所示，将
重力G分解为F 和F ，由共点力平衡条件可知，F1 和F 的合力必为零，F2 和F 的合力必为零。所以
F1 = F =mgtana F2 =F =mg/cosa

课堂练习：
如图所示，重为10N的小球在竖直挡板作用下静止在倾角为300的光滑斜面上，挡板也是光滑的，求：
1）挡板对小球弹力的大小
2）斜面对小球弹力的大小

例题2
如图所示的情况，物体质量为m,如果力F与水平方向的夹角为θ，物体和水平面间的动摩擦因数为μ，那么，要使物体在水平面上做匀速直线运动，力F的大小是多大?
[分析]
取物体作为研究对象。物体受到四个力的作用：竖直向下的重力G, 竖直向上的支持力，右斜向上的已知力F和水平向左的滑动摩擦力f， 物体在这四个共点力的作用下处于平衡状态。分别在水平和竖直方向上列出物体的平衡方程，即可求出F。

课堂练习：
物体A在水平力F1＝400N的作用下，沿倾角q＝60°的斜面匀速下滑，如图甲。物体A受的重力G＝400N,求斜面对物体A的支持力和A与斜面间的动摩擦因数m。
[分析] 取物体A作为研究对象。物体A受到四个力的作用：竖直向下的重量G,水平向右的力F1,垂直于斜面斜向上方的支持力N，平行于斜面向上的滑动摩擦力f，如图乙。其中G和F1是已知的。由滑动摩擦定律f=mN可知，求得f和N就可以求出m 。
物体A在这四个共点力的作用下处于平衡状态。分别在平行和垂直于斜面的方向上列出物体的平衡方程，即可求出N和f。
［解］ 取平行于斜面的方向为x轴，垂直于斜面的方向为y轴，分别在这两个方向上应用平衡条件求解。由平衡条件可知，在这两个方向上的合力Fx合和Fy合应分别等于零，即
Fx = f + F1cosθ－ Gsinθ= 0 (1)
Fy = N - F1sinθ－ Gcosθ = 0 (2)
由(2)式得
N = Gcosθ + F1sinθ= 564N
由（1）得
f = G sinθ ?F1cosθ=146 N
所求
μ= f/N =0.27
例3:
如图所示,一个重为G的小球,夹在斜面与竖直挡板之间保持静止,斜面倾角为30o,不计一切摩擦,小球对斜面与竖直挡板的压力各是多少?现使挡板从图示竖直位置缓慢的顺时针转为水平, 这个过程中小球对斜面与竖直挡板的压力大小是怎么变化的？

“图解法”解有关变力问题： 所谓图解法就是通过三角形或平行四边形的邻边和对角线长短的关系或变化情况，做一些较为复杂的定性分析，从图上一下就可以看出结果，得出结论。
（先画不变的力，再画方向不变或大小不变的力，最后画变化的力）

课堂练习: 如图所示, 用水平细线将电灯拉到图示位置, 若保持灯的位置不变,将细线由水平位置顺时针转到竖直为止的过程中, 细线受到的拉力如何变化?
三．巩固练习：
练习1
如图所示，A和B的质量分别是 4 kg和 10kg ，B 与地面间摩擦因数u=0.4 ，滑轮摩擦及绳重不计，整个装置处于平衡状态，此时地面对B的摩擦力大小为多少？对地面的压力为多大？绳子拉力和摩擦力的合力方向是怎样的？（g＝10N /kg）
练习2如图所示，物体静止在斜面上，斜面对物体作用力的方向是 （ ）
A 沿斜面向上
B垂直斜面向上
C 竖直向上
D 以上都不对
四．课堂小结
这节课我们主要学习了以下几点：
1、应用共点力平衡条件解题时常用的方法————力的合成法、力的分解法、正交分解法
2、解共点力作用下物体平衡问题的一般步骤：
1）确定研究对象
2）对所选研究对象进行受力分析，并画出受力示意图
3）分析研究对象是否处于平衡状态
4）运用平衡条件，选用适当方法，列出平衡方程求解。
[教学建议]
1、物体处于平衡状态，或者是匀速直线运动，反过来物体处于静止或匀速直线运动，物体就是处于平衡状态，平衡状态满足的条件是合外力为零。既无论哪个方向上的合力都是零。
2、有关研究对象的选取：若问题中只有一个物体，一个过程，研究对象没有选择余地，也就是研究这个物体和这个过程。若问题中是一个连接体，又有多个过程，首先研究谁，再研究谁；是研究一个物体为好还是研究多个物体为好，这在审题中需要认真思考。总的原则：首先被研究的应该是受力最简、已知量足够多的，这样通过研究后又可将研究结果作为一个已知条件，为下一次研究创造条件。
3、正交分解法求解平衡问题，建立坐标轴的原则是让尽可能多的力在坐标轴上；被分解的力尽可能是已知力，不宜分解待求力。因一个待求力分解变成两个待求力，给求解带来很多不便。
4、平衡分为静态平衡和动态平衡。静态平衡是指问题处于静止状态，动态平衡指物体匀速运动，也可指在某方向上处于平衡状态。
[备课资料]：
物体的平衡状态是指物体处于静止或匀速直线运动状态，即物体的加速度为零。由牛顿第二定律可知物体的平衡条件是物体所受的合外力为零，这一条件也是解决平衡问题的基本依据。在这个基本结论的基础上，我们可以得到一些推论，掌握这些推论，将会给解题带来很大的方便。
推论1：若物体受到几个力作用而处于平衡状态，则其中任意一个力与其余几个力的合力构成一对平衡力。
例1. 如图所示，某个物体在F1、F2、F3和F4四个共点力的作用下处于静止状态，若F4沿逆时针方向转过 而保持其大小不变，其它三个力的大小和方向均不变，则此时物体所受的合力大小为（　 ）
A. 　　　 B. 　　　 C. 　　 　D.
解析：物体受到四个力的作用而平衡，则其中一个力F4与余下的三个力F1、F2、F3的合力应等大，反向。当F4沿逆时针方向转过 而保持其大小不变时，F1、F2、F3的合力大小仍为F4，方向与F4成 角。由平行四边形定则可知，此时物体所受合力大小为F4，故正确答案为C项。
推论2：当物体受到三个力作用而平衡时，这三个力必在同一平面内，且这三个力的作用线或作用线的延长线必相交于一点，这就是三力汇交原理。
例2. 如图所示，AB为一不均匀直杆，长为 ，将它用两根细绳拴住两端后悬挂于同一点O，当AB在水平方向平衡时，两绳与AB的夹角分别为 和 ，求杆的重心距B端的距离。
解析：以AB杆为研究对象，它共受到三个力的作用，即重力G和两绳对它的拉力 、 。当物体受到三个力的作用而平衡时，三个力的作用线必相交于同一点，因为
和 相交于O点，故杆受到的重力的作用线也必过O点。由于AB杆是水平的，过O点作AB杆的垂线相交于C，则C即为AB杆的重心。
由三角函数关系可得：
即AB杆的重心距B端的距离为l/4。
推论3：当物体受到三个共点力作用而处于平衡时，某个力的大小与另两个力所成角的正弦之比为常数，这一结论称为拉密定理。
例3. 如图所示，一根均匀轻绳AB的两端系在天花板上，在绳上一点C施加一拉力F，逐渐增大F，为使AC、BC两段绳同时断裂，则拉力F与AC绳间的夹角 应为多少？
解析：AB是一根均匀轻绳，AC、BC两段绳能承受的最大拉力T相同。由于已知 各角度，因此可利用拉密定理来解题。
以C点为研究对象，它受到拉力F及AC、BC绳对它的拉力。设当两绳同时被拉断时，AC、BC绳中的拉力都为T，则由拉密定理得


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