2013年高三数学理科5月月考试卷(附答案)

逍遥右脑  2013-09-21 23:41

秘密★启用前
2013年重庆一中高2013级高三下期第三次月考
数 学 试 题 卷(理科) 2013.5
数学试题共4页。满分150分。考试时间120分钟。
注意事项:
1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答时,必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其他答案标号。
3.答非时,必须使用0.5毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效。
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设全集 集合 ,则 ( )
A. B. C. D.
2.向量 ,且 ∥ ,则锐角 的余弦值为( )
A. B. C. D.
3. 的展开式中,常数项等于( )
A. 15 B. 10 C. D.
4.在等差数列 中每一项均不为0,若 ,则 ( )
A. 2014 B. 2014 C. 2013 D. 2014
5.采用系统抽样方法从1000人中抽取50人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2,…,1000,适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8.抽到的50人中,编号落入区间[1,400]的人做问卷A,编号落入区间[401,750]的人做问卷B,其余的人做问卷C.则抽到的人中,做问卷C的人数为( )
A. 12 B. 13 C. 14 D. 15
6.在 中,已知 ,那么 一定是( )
A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 正三角形 D. 等腰直角三角形
7.若定义在R上的函数 的导函数是 ,则函数 的单调递减区间是( )
A. B. C. D.
8 右图给出了一个程序框图,其作用是输入x的值,输出相应的y值。若要使输入的x值与输出的y值相等,则这样的x值有 ( )
A. 1个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4个
9 已知正数 满足 则 的最小值为( )
A. B. 4 C. D.
10过双曲线 的左焦点
,作倾斜角为 的直线FE交该双曲
线右支于点P,若 ,且
则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(非选择题,共 分)
二、题:本大题共6小题,考生作答5小题,每小题5分,共25分. 把答案填写在答题卡相应位置上.
11.在复平面内,复数 对应的点位于虚轴上,则
12.某四面体的三视图如下图所示,则该四面体的四个面中,直角三角形的面积和是_______.
13.用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1,2,3, ,9的9个小正方形,使得任意相邻(由公共边)的小正方形所涂颜色都不相同,且标号为“3,5,7”的小正方形涂相同的颜色,则符合条件的涂法共有 种。
考生注意:14,15,16三题为选作题,请从中任选两题作答,若三题全做,则按前两题给分
14. 是圆O的直径, 为圆O上一点,过 作圆O的切线交 延长线于点 ,若DC=2,BC=1,则 .
15.在极坐标系中,已知两点A、B的极坐标分别为 、 ,则 (其中O为极点)的面积为
16 .若不等式 的解集为空集,则实数 的取值范围为
三.解答题.(本大题6个小题,共75分.各题解答必须答在答题卷上相应题目指定位置)
17.(本小题满分13分)
已知向量 , ,函数
图象的一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间的距离为1,且经过点 。
(1)求函数 的解析式
(2)当 时,求函数 的单调区间。
18 (本小题满分13分)
设甲、乙、丙三人进行围棋比赛,每局两人参加,没有平局。在一局比赛中,甲胜乙的概率为 ,甲胜丙的概率为 ,乙胜丙的概率为 。比赛顺序为:首先由甲和乙进行第一局的比赛,再由获胜者与未参加比赛的选手进行第二局的比赛,依此类推,在比赛中,有选手获胜满两局就取得比赛的胜利,比赛结束。
(1)求只进行了三局比赛,比赛就结束的概率;
(2)记从比赛开始到比赛结束所需比赛的局数为 ,求 的概率分布列和数学期望 。
19 (本小题满分13分)
 已知函数 ,其中 为自然对数的底数.
(Ⅰ)当 时,求曲线 在 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积;
(Ⅱ)若函数 存在一个极大值和一个极小值,且极大值与极小值的积为 ,求 的
值.
20 (本小题满分12分)
  如图,四边形ABCD中, 为正三角形, , ,AC与BD交于O点.将 沿边AC折起,使D点至P点,已知PO与平面ABCD所成的角为 ,且P点在平面ABCD内的射影落在 内.
(Ⅰ)求证: 平面PBD;
(Ⅱ)若 时,求二面角 的余弦值。
21(本小题满分12分)
中心在坐标原点,焦点在 轴上的椭圆的离心率为 ,且经过点 。
若分别过椭圆的左右焦点 、 的动直线l1、l2相交于P点,与椭圆分别交于A、
B与C、D不同四点,直线OA、OB、OC、OD的斜率 、 、 、 满足

(1)求椭圆的方程;
(2)是否存在定点M、N,使得 为定值.若存在,求出M、N点坐标;若不存在,说明理由.
22 (本小题满分12分)
已知各项均为正数的数列 满足: 。
(1)求 的通项公式
(2)当 时,求证:
2013年重庆一中高2013级高三下期第三次月考
数 学 答 案(理科) 2013.5
一.选择题.(每小题5分,共50分)
题号12345678910
答案DDACABCCB B
二.题.(每小题5分,共25分)
11.0 12. 13. 14. 15. 16.
三.解答题.(共75分)
17.(13分)
解:(1)
,由题意得周期 故 ,又图象过点 所以 ,即 ,而 ,故 ,
则:
(2)当 时,
当 时,即 时, 是减函数。
当 时,即 时, 是增函数
则函数 的单调递减区间是 ,单调递增区间是
18.(13分)
解:(1)只进行三局比赛,即丙获胜比赛就结束的概率为
(2)

的分布列为:
234
19.(13分)
解:(Ⅰ) , 当 时, ,
, ,所以曲线 在 处的切线方程为 切线与 轴、 轴的交点坐标分别为 , , 所以,所求面积为 .
(Ⅱ)因为函数 存在一个极大值点和一个极小值点,
所以,方程 在 内存在两个不等实根,
. ,则
设 为函数 的极大值和极小值,
则 , ,
因为, ,所以, ,
即 , , ,
解得, ,此时 有两个极值点,所以 .
20.(12分)
解:(1)取BD中点Q,则 三点共线,即Q与O重合。
则 面PBD
(2)因为AC 面PBD,而 面ABCD,所以面ABCD 面PBD,则P点在面ABCD上的射影点在交线BD上(即在射线OD上),所以PO与平面ABCD所成的角 。以O为坐标原点,OA为 轴,OB为 轴建空间直角坐标系。 ,因为AC 面PBD,所以面PBD的法向量 ,设面PAB的法向量 ,又 ,由 ,得 ①,又 ,由 ,得
②, 在①②中令 ,可得 ,则
所以二面角 的余弦值
21.(12分)
解:(1)设椭圆方程为 ,则由题意知 ,则
,则椭圆方程为 ,代入点 的坐标可得
,所求椭圆方程为
(2)当直线l1或l2斜率不存在时,P点坐标为(-1, 0)或(1, 0).
当直线l1、l2斜率存在时,设斜率分别为 , ,设 , ,
由 得  ,∴ , .
,同理 .∵ , ∴ ,即 .又 , ∴ .
设 ,则 ,即 ,
由当直线l1或l2斜率不存在时,P点坐标为(-1, 0)或(1, 0)也满足,∴ 点椭圆上,则存在点M、N其坐标分别为(0 , -1)、(0, 1),使得 为定值 .
22(12分)
解:(1) ,猜测: 。下用数学归纳法证明:
①当 ,猜想成立;
②假设当 时猜想成立,即 ,
由条件 ,

两式相减得: ,则当 时,

时,猜想也成立。
故对一切的 成立。
(2) ,即证:
对 ,令 ( ),则

显然 , ,所以 ,
所以 , 在 上单调递减.
由 ,得 ,即 .
所以 , .
所以
. 得证。


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