相互独立事件同时发生的概率

11.3 相互独立事件同时发生的概率

●知识梳理
1.相互独立事件：事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，这样的两个事件叫相互独立事件.
2.独立重复实验：如果在一次试验中某事件发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，这个事件恰好发生k次的概率为Pn（k）=C pk（1－p）n－k.
3.关于相互独立事件也要抓住以下特征加以理解：
第一，相互独立也是研究两个事件的关系；
第二，所研究的两个事件是在两次试验中得到的；
第三，两个事件相互独立是从“一个事件的发生对另一个事件的发生的概率没有影响”来确定的.
4.互斥事件与相互独立事件是有区别的：
两事件互斥是指同一次试验中两事件不能同时发生，两事件相互独立是指不同试验下，二者互不影响；两个相互独立事件不一定互斥，即可能同时发生，而互斥事件不可能同时发生.
5.事件A与B的积记作A?B，A?B表示这样一个事件，即A与B同时发生.
当A和B是相互独立事件时，事件A?B满足乘法公式P（A?B）=P（A）?P（B），还要弄清 ? ， 的区别. ? 表示事件 与 同时发生，因此它们的对立事件A与B同时不发生，也等价于A与B至少有一个发生的对立事件即 ，因此有 ? ≠ ，但 ? = .
●点击双基
1.甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是p1，乙解决这个问题的概率是p2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是
A.p1p2B.p1（1－p2）+p2（1－p1）
C.1－p1p2D.1－（1－p1）（1－p2）
解析：恰有一人解决就是甲解决乙没有解决或甲没有解决乙解决，故所求概率是p1（1－p2）+p2（1－p1）.
答案：B
2.将一枚硬币连掷5次，如果出现k次正面的概率等于出现k+1次正面的概率，那么k的值为
A.0B.1C.2D.3
解析：由C （ ）k（ ）5－k=C （ ）k+1?（ ）5－k－1，
即C =C ，k+（k+1）=5，k=2.
答案：C
3.从应届高中生中选出飞行员，已知这批学生体型合格的概率为 ，视力合格的概率为 ，其他几项标准合格的概率为 ，从中任选一学生，则该生三项均合格的概率为（假设三项标准互不影响）
A. B. C. D.
解析：P= × × = .
答案：C
4.一道数学竞赛试题，甲生解出它的概率为 ，乙生解出它的概率为 ，丙生解出它的概率为 ，由甲、乙、丙三人独立解答此题只有一人解出的概率为________.
解析：P= × × + × × + × × = .
答案：
5.一出租车司机从饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是 .那么这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率是________.
解析：因为这位司机在第一、二个交通岗未遇到红灯，在第三个交通岗遇到红灯，所以P=（1－ ）（1－ ）× = .
答案：
●典例剖析
【例1】某班有两个课外活动小组，其中第一小组有足球票6张，排球票4张；第二小组有足球票4张，排球票6张.甲从第一小组的10张票中任抽1张，乙从第二小组的10张票中任抽1张.
（1）两人都抽到足球票的概率是多少?
（2）两人中至少有1人抽到足球票的概率是多少?
解：记“甲从第一小组的10张票中任抽1张，抽到足球票”为事件A，“乙从第二小组的10张票中任抽1张，抽到足球票”为事件B；记“甲从第一小组的10张票中任抽1张，抽到排球票”为事件 ，“乙从第二小组的10张票中任抽1张，抽到排球票”为事件 ，
于是P（A）= = ，P（ ）= ；
P（B）= = ，P（ ）= .
由于甲（或乙）是否抽到足球票，对乙（或甲）是否抽到足球票没有影响，因此A与B是相互独立事件.
（1）甲、乙两人都抽到足球票就是事件A?B发生，根据相互独立事件的概率乘法公式，得到P（A?B）=P（A）?P（B）= ? = .
答：两人都抽到足球票的概率是 .
（2）甲、乙两人均未抽到足球票（事件 ? 发生）的概率为
P（ ? ）=P（ ）?P（ ）= ? = .
∴两人中至少有1人抽到足球票的概率为
P=1－P（ ? ）=1－ = .
答：两人中至少有1人抽到足球票的概率是 .
【例2】 有外形相同的球分别装在三个不同的盒子中，每个盒子中有10个球.其中第一个盒子中有7个球标有字母A，3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个.试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一球；若第一次取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一球.如果第二次取得的球是红球，则称试验成功，求试验成功的概率.
解：设事件A：从第一个盒子中取得一个标有字母A的球；事件B：从第一个盒子中取得一个标有字母B的球，则A、B互斥，且P（A）= ，P（B）= ；事件C：从第二号盒子中取一个红球，事件D：从第三号盒子中取一个红球，则C、D互斥，且P（C）= ，P（D）= = .
显然，事件A?C与事件B?D互斥，且事件A与C是相互独立的，B与D也是相互独立的.所以试验成功的概率为P=P（A?C+B?D）=P（A?C）+P（B?D）=P（A）?P（C）+P（B）?P（D）= .
∴本次试验成功的概率为 .
【例3】冰箱中放有甲、乙两种饮料各5瓶，每次饮用时从中任意取1瓶甲种或乙种饮料，取用甲种或乙种饮料的概率相等.
（1）求甲种饮料饮用完毕而乙种饮料还剩下3瓶的概率；
（2）求甲种饮料被饮用瓶数比乙种饮料被饮用瓶数至少多4瓶的概率.
解：（1）由题意知，甲种已饮用5瓶，乙种已饮用2瓶.
记“饮用一次，饮用的是甲种饮料”为事件A，
则p=P（A）= .
题（1）即求7次独立重复试验中事件A发生5次的概率为P7（5）=C p5（1－p）2=C （ ）7= .
（2）有且仅有3种情形满足要求：
甲被饮用5瓶，乙被饮用1瓶；甲被饮用5瓶，乙没有被饮用；甲被饮用4瓶，乙没有被饮用.
所求概率为P6（5）+P5（5）+P4（4）=C p5（1－p）+C p5+C p4= .
答：甲饮料饮用完毕而乙饮料还剩3瓶的概率为 ，甲饮料被饮用瓶数比乙饮料被饮用瓶数至少多4瓶的概率为 .
●闯关训练
夯实基础
1.若A与B相互独立，则下面不相互独立事件有
A.A与 B.A与 C. 与B D. 与
解析：由定义知，易选A.
答案：A
2.在某段时间内，甲地不下雨的概率为0.3，乙地不下雨的概率为0.4，假设在这段时间内两地是否下雨相互无影响，则这段时间内两地都下雨的概率是
A.0.12 B.0.88C.0.28 D.0.42
解析：P=（1－0.3）（1－0.4）=0.42.
答案：D
3.某学生参加一次选拔考试，有5道题，每题10分.已知他解题的正确率为 ，若40分为最低分数线，则该生被选中的概率是________.
解析：该生被选中，他解对5题或4题.
∴P=（ ）5+C ×（ ）4×（1－ ）= .
答案：
4.某单位订阅大众日报的概率为0.6，订阅齐鲁晚报的概率为0.3，则至少订阅其中一种报纸的概率为________.
解析：P=1－（1－0.6）（1－0.3）=0.72.
答案：0.72
培养能力
5.在未来3天中，某气象台预报每天天气的准确率为0.8，则在未来3天中，
（1）至少有2天预报准确的概率是多少？
（2）至少有一个连续2天预报都准确的概率是多少？
解：（1）至少有2天预报准确的概率即为恰有2天和恰有3天预报准确的概率，即
C ?0.82?0.2+C ?0.83=0.896.
∴至少有2天预报准确的概率为0.896.
（2）至少有一个连续2天预报准确，即为恰有一个连续2天预报准确或3天预报准确的概率为
2?0.82?0.2+0.83=0.768.
∴至少有一个连续2天预报准确的概率为0.768.
6.（2004年南京模拟题）一个通讯小组有两套设备，只要其中有一套设备能正常工作，就能进行通讯.每套设备由3个部件组成，只要其中有一个部件出故障，这套设备就不能正常工作.如果在某一时间段内每个部件不出故障的概率为p，计算在这一时间段内，
（1）恰有一套设备能正常工作的概率；
（2）能进行通讯的概率.
解：记“第一套通讯设备能正常工作”为事件A，“第二套通讯设备能正常工作”为事件B.
由题意知P（A）=p3，P（B）=p3，
P（ ）=1－p3，P（ ）=1－p3.
（1）恰有一套设备能正常工作的概率为P（A? + ?B）=P（A? ）+P（ ?B）
=p3（1－p3）+（1－p3）p3=2p3－2p6.
（2）方法一：两套设备都能正常工作的概率为
P（A?B）=P（A）?P（B）=p6.
至少有一套设备能正常工作的概率，即能进行通讯的概率为
P（A? + ?B）+P（A?B）=2p3－2p6+p6=2p3－p6.
方法二：两套设备都不能正常工作的概率为
P（ ? ）=P（ ）?P（ ）=（1－p3）2.
至少有一套设备能正常工作的概率，
即能进行通讯的概率为1－P（ ? ）=1－P（ ）?P（ ）=1－（1－p3）2=2p3－p6.
答：恰有一套设备能正常工作的概率为2p3－2p6，能进行通讯的概率为2p3－p6.
7.已知甲袋中有3个白球和4个黑球，乙袋中有5个白球和4个黑球.现从两袋中各取两个球，试求取得的4个球中有3个白球和1个黑球的概率.
解：从甲袋中取2个白球，从乙袋中取1个黑球和1个白球的概率为 × = ；
从甲袋中取1个黑球和1个白球，从乙袋中取2个白球的概率为 × = .
所以，取得的4个球中有3个白球和1个黑球的概率为 + = = .
探究创新
8.甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为 ，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为 ，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为 .
（1）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；
（2）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率.
解：（1）设A、B、C分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件，
由题设条件有
即
由①③得P（B）=1－ P（C），
代入②得27［P（C）］2－51P（C）+22=0.
解得P（C）= 或 （舍去）.
将P（C）= 分别代入③②可得P（A）= ，P（B）= ，
即甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是 ， ， .
（2）记D为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验至少有一个一等品的事件，则
P（D）=1－P（ ）=1－［1－P（A）］［1－P（B）］［1－P（C）］=1－ ? ? = .
故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的概率为 .
●思悟小结
1.应用公式时，要注意前提条件，只有对于相互独立事件A与B来说，才能运用公式P（A?B）=P（A）?P（B）.
2.在学习过程中，要善于将较复杂的事件分解为互斥事件的和及独立事件的积，或其对立事件.
3.善于将具体问题化为某事件在n次独立重复试验中发生k次的概率.
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点睛
1.首先要搞清事件间的关系（是否彼此互斥、是否互相独立、是否对立），当且仅当事件A和事件B互相独立时，才有P（A?B）=P（A）?P（B）.
2.A、B中至少有一个发生：A+B.
（1）若A、B互斥：P（A+B）=P（A）+P（B），否则不成立.
（2）若A、B相互独立（不互斥）.
法一：P（A+B）=P（A?B）+P（A? ）+P（ ?B）；
法二：P（A+B）=1－P（ ? ）；
法三：P（A+B）=P（A）+P（B）－P（AB）.
3.某些事件若含有较多的互斥事件，可考虑其对立事件的概率，这样可减少运算量，提高正确率.要注意“至多”“至少”等题型的转化，如例1.
4.n次独立重复试验中某事件发生k次的概率Pn（k）=C pk（1－p）n－k正好是二项式［（1－p）+p］n的展开式的第k+1项.
拓展题例
【例1】 把n个不同的球随机地放入编号为1，2，…，m的m个盒子内，求1号盒恰有r个球的概率.
解法一：用独立重复试验的概率公式.把1个球放入m个不同的盒子内看成一次独立试验，其中放入1号盒的概率为P= .这样n个球放入m个不同的盒子内相当于做n次独立重复试验.由独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率公式知，1号盒恰有r个球的概率
Pn（r）=C pr（1－p）n－r=C ?（ ）r?（1－ ）n－r= .
解法二：用古典概型.把n个不同的球任意放入m个不同的盒子内共有mn个等可能的结果.其中1号盒内恰有r个球的结果数为C （m－1）n－r，故所求概率P（A）= .
答：1号盒恰有r个球的概率为 .
【例2】 假设每一架飞机引擎在飞行中故障率为1－P，且各引擎是否故障是独立的，如果至少50%的引擎能正常运行，飞机就可以成功地飞行，问对于多大的P而言，4引擎飞机比2引擎的飞机更为安全？
分析：4引擎飞机可以看作4次独立重复试验，要能正常运行，即求发生k次（k≥2）的概率.同理，2引擎飞机正常运行的概率即是2次独立重复试验中发生k次（k≥1）的概率，由此建立不等式求解.
解：4引擎飞机成功飞行的概率为
C P2（1－P）2+C P3（1－P）+C P4=6P2（1－P）2+4P3（1－P）+P4.
2引擎飞机成功飞行的概率为C P（1－P）+C P2=2P（1－P）+P2.
要使4引擎飞机比2引擎飞机安全，只要6P2（1－P）2+4P3（1－P）+P4≥2P（1－P）+P2.
化简，分解因式得（P－1）2（3P－2）≥0.
所以3P－2≥0，
即得P≥ .

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