湖南省常德市2015届高三上学期期末市协作考试数学理试题（word版

常德市2014届高三上学期期末市协作考试数 学（）注意事项：本试卷共4页，满分150分．考试用时120分钟． 考试结束后，只交答题卷．一、选择题：1．已知（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=A． B．1 C．2 D．32．一个总体分为A，B两层，其个体数之比为5：3，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为120的样本．则A层中应该抽取的个数为A．30 B．45 C．50 D．753．在△ABC中，所对应的边分别为， 若a=9，b=6， A=，则A． B． C． D．4．若某空间几何体的三视图如图1所示，则该几何体的表面积是 A．60 B．54 C．48 D．24 5．设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=+2x+m (m为常数)，则A．3 B．1 C． D．6．已知和点满足．若存在实数使得成立，则=A．2 B．3 C．4 D．5 7．已知实数，满足条件，则的最小值为A． B． C． D． 8．函数满足：恒成立，若，则与的大小关系为 A． B． C． D．与的大小关系不确定 二、填空题：9． ________．10．不等式的解集是________．11．命题“，”的否定是________． 12．执行如图2所示的程序框图，若，则输出的n＝____．13．各项均为正数的等比数列{}=5，=10，则=________．14．以F为焦点的抛物线上的两点A、B满足，则弦AB的中点到准线的距离为____________． 15．已知数列满足：当（）时，，是数列 的前项和，定义集合是的整数倍，，且，表示集合中元素的个数，则 ， ．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写文字说明，证明过程或演算步骤．16．12分）已知向量，，（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）在中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，若，求角的值．17．12分）学校为测评班学生对教师的满意度采用“100分制”打分的方式来计分．现从某班学生中随机抽取10名，以下茎叶图记录了他们对教师的满意度分数(以十位数字为茎，个位数字为叶)：（Ⅰ）指出这组数据的众数和中位数；（Ⅱ）若满意度不低于98分，则评价该教师为“优秀”．求从这10人中随机选取3人，至多有1人评价该教师是“优秀”的概率；（Ⅲ）以这10人的样本数据来估计整个班级的总体数据，若从该班任选3人，记表示抽到评价该教师为 “优秀”的人数，求的分布列及数学期望．18．12分）在如图４所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，为等腰直角三角形，，且．（Ⅰ）证明：平面平面．（Ⅱ）求直线EC与平面BED所成角的正弦值．19．13分）中国人口已经出现老龄化与少子化并存的结构特征，测算显示中国是世界上人口老龄化速度最快的国家之一，再不“放开二胎”政策，整个社会将会出现一系列的问题．若某地区2015年人口总数为45万， “放开二胎”政策后专家估计人口总数将发生如下变化：2015年到2022年每年增加万2023年到2032年每年人口为上一年的99%． （Ⅰ）求实施新政策后第年的人口总数的表达式（注：2015年为第一年）； （Ⅱ）若新政策实施到2032年人口均值超过49万，则需调整政策，否则继续实施．问到2032年是否需要调整政策？20．13分）已知椭圆的离心率为，且经过点． 过它的两个焦点分别作直线，交椭圆于A、B交椭圆于C、D，且．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）求四边形面积的取值范围．21．13分）已知函数．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若方程有解，求实数m的取值范围；（Ⅲ）若存在实数，使成立，求证：．1.D 2.D 3． 4.A 5.D 6.B 7.C 8.A二、填空题：本大题共7个小题，每小题5分，共35分，把答案填在题中的横线上.9.1 10. 11. 12.5 13. 40 14. 15. 9, 1022 （答对一空记3分, 答对二空记5分）三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写文字说明，证明过程或演算步骤.16.解：由 ………………4分(Ⅰ)∵T= ………………6分(Ⅱ)由 即 ………………8分又，在中由正弦定理知即 ………………10分 ………………11分故 ………………12分17.解：（Ⅰ）众数：87；中位数：88.5 ……………2分（Ⅱ）设表示所取3人中有个人评价该教师为“优秀”，至多有1人评价该教师为“优秀”记为事件，则 ……………6分（Ⅲ）的可能取值为0、1、2、3 ……………7分 ； ； 分布列为 1 ……………11分 . ……………12分 注：用二项分布直接求解也可以．18. .解法一：（Ⅰ）由已知有AE⊥AB，又AE⊥AD，所以AE⊥平面ABCD，所以AE⊥DB， ………………………………………………3分又ABCD为正方形，所以DB⊥AC， ……………………………………………4分所以DB⊥平面AEC，而BD平面BED故有平面AEC⊥平面BED. ………………………………………………6分（Ⅱ）设AC与BD交点为O，所以OE为两平面AEC和BED的交线.过C作平面BED的垂线，其垂足必在直线EO上，即∠OEC为EC与平面BED所成的角. ……………7分设正方形边长为2，则OA=，AE=2，所以OE=，EC=，…………………9分所以在三角形OEC中，由余弦定理得 cos∠OEC=，故所求为sin∠OEC=………………………12分解法二：以A为原点，AE、AB、AD分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系．……1分（Ⅰ）设正方形边长为2，则E(2,0,0)，B(0,2,0)，C(0,2,2)，D(0,0,2)………………2分 (0,2,2)，=(0,-2,2)，=(2,0,0)，=(-2,0,2)，从而有，，即BD⊥AC，BD⊥AE，所以BD⊥平面AEC，故平面BED⊥平面AEC.………………………6分（Ⅱ）设平面BED的法向量为，由，得，故取…………8分而=(-2,2,2)，设直线EC与平面BED所成的角为，则有 …………………………12分19.解：（Ⅰ）当时，数列是首项为，公差为的等差数列， ………………2分当时，数列是以公比为的等比数列，又 ………………4分因此，新政策实施后第年的人口总数（单位：万元）的表达式为 ………………6分(Ⅱ)设为数列的前项和，则从2015年到2032年共年，由等差数列及等比数列的求和公式得： 万……10分(说明：)新政策实施到2032年年人口均值为 万 ………………12分由，故到2032年不需要调整政策． ………………13分 20解：（Ⅰ）由，所以， ………………2分将点P的坐标代入椭圆方程得， ………………4分故所求椭圆方程为 ………………5分（Ⅱ）当与中有一条直线的斜率不存在，则另一条直线的斜率为0，此时四边形的面积为， ………………7分若与的斜率都存在，设的斜率为，则的斜率为．直线的方程为， 设，，联立，消去整理得， （1），， ………………8分，（2） ………………9分注意到方程（1）的结构特征，或图形的对称性，可以用代替（2）中的，得 ，………………10分，令，， ，综上可知，四边形面积的. ………………13分21.解：（Ⅰ）， ………………1分令，或 ………………3分所以递增区间为，递减区间为 ………………4分（Ⅱ），令，则令，，所以在递增，在递减， ………………6分，故 ………………8分(Ⅲ)令，则由（2）知，在递增，在递减. 由条件有，不妨设，则必有，于是 ………………9分假设，则，即，令，则有，即 （*），令.，………………11分因为恒成立，所以在上是增函数，所以，所以在上是减函数，故,时，，这与（*）矛盾！所以原不等式得证，即．…………13分 每天发布最有价值的高考资源 每天发布最有价值的高考资源 每天发布最有价值的高考资源侧视图俯视图正视图344图1开始S

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