湖北省2013年高考理科数学试卷

绝密★启用前
2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）
数 学（理工类）
本试题卷共6页，22题，其中第15、16题为选考题。全卷满分150分。考试用时120分钟。
★祝考试顺利★
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用统一提供的2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。答在试题卷、草稿纸上无效。
3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。答在试题卷、草稿纸上无效。
4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用统一提供的2B铅笔涂黑。考生应根据自己选做的题目准确填涂题号，不得多选。答题答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．在复平面内，复数 （ 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知全集为 ，集合 ， ，则
A． B．
C． D．
3．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为
A． ∨ B． ∨ C． ∧ D． ∨
4．将函数 的图象向左平移 个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是
A． B． C． D．
5．已知 ，则双曲线 ： 与 ： 的
A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等
6．已知点 、 、 、 ，则向量 在 方向上的投影为
A． B． C． D．
7．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度 （t的单位：s，v的单位：m/s）行驶至停止. 在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m）是
A． B． C． D．
8．一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为 ， ， ， ，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有
A． B． C． D．
9．如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体. 经过搅
拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为 ，则 的均值
A． B． C． D．
10．已知 为常数，函数 有两个极值点 ， ，则
A． ， B． ，
C． ， D． ，
二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分. 请将答案填在答题卡对应题号的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.
（一）必考题（11?14题）
11．从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示.
（Ⅰ）直方图中 的值为_________；
（Ⅱ）在这些用户中，用电量落在区间 内的户数为_________.
第11题图 第12题图
12．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果 _________.
13．设 ，且满足： ， ，则 _________.
14．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数. 如三角形数1，3，6，10， ，
第 个三角形数为 . 记第 个 边形数为 ，以下列出
了部分k边形数中第 个数的表达式：
三角形数 ，
正方形数 ，
五边形数 ，
六边形数 ，
………………………………………
可以推测 的表达式，由此计算 _________.
（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑. 如果全选，则按第15题作答结果计分.）
15．（选修4-1：几何证明选讲）
如图，圆 上一点 在直径 上的射影为 ，点 在半径 上的射影为 ．若 ，则 的值为_________．
16．（选修4-4：坐标系与参数方程）
在直角坐标系 中，椭圆 的参数方程为 （ 为参数， ）. 在
极坐标系（与直角坐标系 取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴
为极轴）中，直线 与圆 的极坐标方程分别为 （m为非零常数）
与 . 若直线 经过椭圆 的焦点，且与圆 相切，则椭圆 的离心率为_________.
三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）
在△ 中，角 ， ， 对应的边分别是 ， ， . 已知 .
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若△ 的面积 ， ，求 的值.
18．（本小题满分12分）
已知等比数列 满足： ， .
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）是否存在正整数 ，使得 ？若存在，求 的最小值；若不存在，说明理由.
19．（本小题满分12分）
如图， 是圆 的直径，点 是圆 上异于 的点，直线 平面 ， ，
分别是 ， 的中点.
（Ⅰ）记平面 与平面 的交线为 ，试判断直线 与平面 的位置关系，并加以证明；
（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l与圆 的另一个交点为 ，且点Q满足 . 记直线 与平面 所成的角为 ，异面直线 与 所成的角为 ，二面角 的大小为 ，求证： .
20．（本小题满分12分）
假设每天从甲地去乙地的旅客人数 是服从正态分布 的随机变量. 记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为 .
（Ⅰ）求 的值；
（参考数据：若 ～ ，有 ， ， .）
（Ⅱ）某客运公司用 、 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次. 、 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆. 公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求 型车不多于 型车7辆. 若每天要以不小于 的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备 型车、 型车各多少辆?
21．（本小题满分13分）
如图，已知椭圆 与 的中心在坐标原点 ，长轴均为 且在 轴上，短轴长分别
为 ， ，过原点且不与 轴重合的直线 与 ， 的四个交点按纵坐标从
大到小依次为A，B，C，D．记 ，△ 和△ 的面积分别为 和 .
（Ⅰ）当直线 与 轴重合时，若 ，求 的值；
（Ⅱ）当 变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得 ？并说明理由．
22．（本小题满分14分）
设 是正整数， 为正有理数.
（Ⅰ）求函数 的最小值；
（Ⅱ）证明： ；
（Ⅲ）设 ，记 为不小于 的最小整数，例如 ， ， .
令 ，求 的值.


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