逍遥右脑 2013-05-26 13:55
2012届高考数学二轮复习资料
专题四 三角函数（教师版）
【考纲解读】
1.了解任意角的概念,了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化;理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切）的定义.
2.能利用单位圆中的三角函数线推导出 , 的正弦、余弦、正切的诱导公式;理解同角的三角函数的基本关系式:sin2x+cos2x=1, .
3.能画出y=sinx, y=cosx, y=tanx的图象,了解三角函数的周期性;2.理解正弦函数,余弦函数在区间[0,2 ]上的性质(如单调性,最大值和最小值以及与x轴的交点等),理解正切函数在区间(- , )内的单调性.
4.了解函数 的物理意义；能画出 的图象，了解 对函数图象变化的影响.
5.会用向量的数量积推导两角差的余弦公式;能利用两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦和正切公式,了解它们的内在联系.
6.能利用两角差的余弦公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).
【考点预测】
从近几年高考试题看，对三角函数的考查：一是以选择填空的形式考查三角函数的性质及公式的应用，一般占两个小题；二是以解答题的形式综合考查三角恒等变换、 的性质、三角函数与向量等其他知识综合及三角函数为背景的实际问题等.
预测明年，考查形式不变，选择、填空题以考查三角函数性质及公式应用为主，解答题将会以向量为载体，考查三角函数的图象与性质或者与函数奇偶性、周期性、最值等相结合，以小型综合题形式出现.
【要点梳理】
1.知识点:弧度制、象限角、终边相同的角、任意角三角函数的定义、同角三角函数基本关系式、诱导公式、三角函数线、三角函数图象和性质；和、差、倍角公式，正、余弦定理及其变形公式.
2.三角函数中常用的转化思想及方法技巧:
(1)方程思想: , , 三者中,知一可求二;
(2)“1”的替换: ;
(3)切弦互化:弦的齐次式可化为切；
(4)角的替换: , ;
(5)公式变形: , ,
;
(6)构造辅助角(以特殊角为主):
.
3.函数 的问题:
(1)“五点法”画图:分别令 、 、 、 、 ，求出五个特殊点；
(2)给出 的部分图象,求函数表达式时,比较难求的是 ,一般从“五点法”中取靠近 轴较近的已知点代入突破;
(3)求对称轴方程:令 ,
求对称中心: 令 ;
(4)求单调区间:分别令 ;
,同时注意A、 符号.
4.解三角形:
(1)基本公式:正弦、余弦定理及其变形公式；三角形面积公式；
(2)判断三角形形状时，注意边角之间的互化.
【考点在线】
考点1 三角函数的求值与化简
此类题目主要有以下几种题型：
⑴考查运用诱导公式和逆用两角和的正弦、余弦公式化简三角函数式能力，以及求三角函数的值的基本方法.
⑵考查运用诱导公式、倍角公式，两角和的正弦公式，以及利用三角函数的有界性求的值 故f(x)的定义域为
（Ⅱ）由已知条得
从而 ＝
＝ ＝
【名师点睛】本小题主要考查三角函数的定义域和两角差的公式，同角三角函数的关系等基本知识，考查运算和推理能力，以及求角的基本知识..
【备考提示】：熟练掌握三角函数公式与性质是解答好本类题的关键.
练习1: （2011年高考福建卷科9)若 ∈（0， ），且 ，则 的值等于( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为 ∈（0， ），且 ，所以 ,
即 ,所以 = 或 (舍去),所以 ,即 ,选D.
考点2 考查 的图象与性质
考查三角函数的图象和性质的题目，是高考的重点题型.此类题目要求考生在熟练掌握三角函数图象的基础上要对三角函数的性质灵活运用，会用数形结合的思想解题.
【备考提示】：三角函数的图象及性质是高考考查的热点内容之一,熟练其基础知识是解答好本类题的关键.
练习2.(2011年高考江苏卷9)函数 是常数， 的部分图象如图所示，则
【答案】
【解析】由图象知：函数 的周期为 ，而周期 ，所以 ，由五点作图法知： ，解得 ，又A= ，所以函数 ，所以 .
考点3 三角函数与向量等知识的综合
三角函数与平面向量的综合,解答过程中,向量的运算往往为三角函数提供等量条.
例3.（2009年高考江苏卷第15题）
设向量
（1）若 与 垂直，求 的值；
（2）求 的最大值;
（3）若 ，求证： ∥ .
【解析】
【名师点睛】本小题主要考查向量的基本概念，同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式，考查运算和证明得基本能力.
【备考提示】：熟练三角公式与平面向量的基础知识是解决此类问题的关键.
练习3.（天津市十二区县重点中学2011年高三联考二理）（本小题满分13分）
已知向量 ， ．
（I）若 ,求 值；
（II）在 中，角 的对边分别是 ，且满足 ，
求函数 的取值范围.
【解析】（I） ----------------1分
= ----------------3分
= ----------------4分
∵ ∴ ∴ = -------6分
（II）∵ ，
由正弦定理得 -----------------8分
∴
∴ - ----------------9分
∵ ∴ ，且
∴ ∵ ∴ ----------------10分
∴ ----------------11分
∴ ----------------12分
∴ ∴ ---13分
考点4. 解三角形
解决此类问题，要根据已知条，灵活运用正弦定理或余弦定理，求边角或将边角互化.
例4. (2011年高考安徽卷科16) 在 ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a= ，b= ， ，求边BC上的高.
【解析】∵A＋B＋C＝180°，所以B＋C＝A，
又 ，∴ ，
即 ， ，又0°<A<180°，所以A＝60°.
在△ABC中，由正弦定理 得 ，
又∵ ，所以B＜A，B＝45°，C＝75°，
∴BC边上的高AD＝AC•sinC＝
.
【名师点睛】本题考察两角和的正弦公式，同角三角函数的基本关系，利用内角和定理、正弦定理、余弦定理以及三角形边与角之间的大小对应关系解三角形的能力，考察综合运算求解能力.
【备考提示】：解三角形问题所必备的知识点是三大定理“内角和定理、正弦定理、余弦定理”具体的思路是化统一的思想“统一成纯边或纯角问题”即可.
练习4. （2011年高考东卷科17)在 ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知 .
（I）求 的值；
（II）若cosB= ，
【解析】(1)由正弦定理得 所以 = ,即 ,即有 ,即 ,所以 =2.
(2)由(1)知 =2,所以有 ,即c=2a,又因为 的周长为5,所以b=5-3a,由余弦定理得：
，即 ，解得a=1，所以b=2.
【易错专区】
问题：三角函数的图象变换
例. (2011年高考全国卷理科5)设函数 ，将 的图像向右平移 个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则 的最小值等于( )
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】 即 ,
z则 时 故选C.
【名师点睛】本题考查三角函数的图象平移,在平移时,应注意 的系数.
【备考提示】：三角函数的图象变换是高考的热点,必须熟练此类问题的解法.
【考题回放】
1. (2011年高考东卷理科3)若点（a,9）在函数 的图象上，则tan= 的值为( )
（A）0 (B) (C) 1 (D)
【答案】D
【解析】由题意知:9= ,解得 =2,所以 ,故选D.
2. (2011年高考东卷理科6)若函数 (ω>0)在区间 上单调递增，在 【答案】C.
【解析】若 对 恒成立，则 ，所以 ， .由 ，（ ），可知 ，即 ，所以 ，代入 ，得 ，由 ，得 ，故选C.
4.(2011年高考辽宁卷理科4)△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，asin AsinB+bcos2A= 则 （ ）
(A) (B) (C) (D)
【答案】 D
【解析】由正弦定理得，sin2AsinB+sinBcos2A= sinA，即sinB（sin2A+cos2A）= sinA，
故sinB= sinA，所以 ；
5.(2011年高考辽宁卷理科7)设sin ，则 （ ）
(A) (B) (C) (D)
【答案】A
【解析】
6.(2011年高考浙江卷理科6)若 ， ， ， ，则 （ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】 C
【解析】
, 故选C.
7. (2011年高考全国新标卷理科5)已知角 的顶点与原点重合，始边与横轴的正半轴重合，终边在直线 上，则， （ ）
A B C D
【答案】B
【解析】因为该直线的斜率是 ，所以， .
8. (2011年高考全国新标卷理科11)设函数 的最小正周期为 ，且 ，则（ ）
（A） 在 单调递减 （B） 在 单调递减 （C） 在 单调递增 （D） 在 单调递增
【答案】A
【解析】函数解析式可化为 ，
又因为该函数是偶函数，所以， ，所以，该函数在 上是减函数。故选A
9. (2011年高考天津卷理科6)如图，在△ 中， 是边 上的点，且 ，则 的值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设 ,则由题意可得: ,在 中,由余弦定理得： = ，所以 = ，在△ 中，由正弦定理得， ，所以 ，解得 = ，故选D.
10．(2011年高考湖北卷理科3)已知函数 ，若 ，则 的取值范围为( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由 ，即 ，解得 ,
即 ，所以选B.
11．(2011年高考陕西卷理科6)函数 在 内( )
（A）没有零点 （B）有且仅有一个零点
（C）有且仅有两一个零点（D）有无穷个零点
【答案】B
【解析】令 ， ，则它们的图像如图故选B
12.(2011年高考重庆卷理科6)若 的内角 所对的边 满足 ，且 ，则 的值为( )
（A） (B)
(C)1 (D)
【答案】A
【解析】由 得 ，由 得 ，解得 .
13. (2011年高考四川卷理科6)在 ABC中． .则A的取值范围是( )
(A)(0， ] (B)[ ， ) (c)(0， ] (D) [ ， )
【答案】C
【解析】由正弦定理，得 ，由余弦定理，得 ，则 , , .
14.(2011年高考辽宁卷理科16)已知函数f（x）=Atan（ x+ ）（ ＞0， ），y=f（x）的部分图像如下图，则f（ ）=____________.
【答案】
【解析】函数f(x)的周期是 ，故 ，由 得 .所以 ，故 .
15.(2011年高考安徽卷理科14)已知 的一个内角为120o，并且三边长构成公差为4
的等差数列，则 的面积为_______________
【答案】
【解析】设三角形的三边长分别为 ，最大角为 ，由余弦定理得 ，则 ，所以三边长为6,10,14.△ABC的面积为 .
16. (2011年高考全国新标卷理科16)在 中， ，则 的最大值为 。
【答案】
【解析】在三角形ABC中，由正弦定理得
其中， ，又因为 ，所以最大值为
17.(2011年高考浙江卷理科18)（本题满分14分）在 中，角 所对的边分别为a,b,c已知 且 .（Ⅰ）当 时，求 的值；(Ⅱ)若角 为锐角，求p的取值范围；
【解析】（Ⅰ）由正弦定理得 ， ①
又 ②联立①②解得
(Ⅱ)由（Ⅰ）可知 ，由余弦定理得
即 由题设知
所以
18. (2011年高考天津卷理科15)（本小题满分13分）
已知函数 ，
（Ⅰ）求 的定义域与最小正周期；
（Ⅱ）设 ，若 求 的大小．
【解析】（Ⅰ）由 得 所以 的定义域为
. 的最小正周期为 .
（Ⅱ）由 得 即 ,
（2）若 a2+b2=4(a+b)-8，求边c的值
【解析】由 ，即 ，
因为 ，所以 ，两边平方得 ．
（2）由 得 ，所以 ，所以 ，
由 得 ，由余弦定理得 ，
又 ，即 ，所以 ，
所以 ，所以 ．
20. (2011年高考湖南卷理科17) （本小题满分12分）在 中，角 所对的边分别为 ，且满足 .
求角 的大小；
求 的最大值，并求取得最大值时角 的大小.
【解析】 由正弦定理得
因为 ，所以 .从而 .又 ，所以 ，
则
由 知， ，于是 =
= =
因为 ，所以 .从而当 ，即 时，
取最大值2.
综上所述， 的最大值2，此时 ， .
【高考冲策演练】
一、选择题：
1.（ 2010年高考全国卷I理科2）记 ,那么 ( )
A. B. - C. D. -
3．（2010年高考福建卷理科1） 的值等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】原式= ，故选A。
4．（2010年高考安徽卷理科9）动点 在圆 上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周。已知时间 时，点 的坐标是 ，则当 时，动点 的纵坐标 关于 （单位：秒）的函数的单调递增区间是( )
A、 B、 C、 D、 和
【答案】D
【解析】画出图形，设动点A与 轴正方向夹角为 ，则 时 ，每秒钟旋转 ，在 上 ，在 上 ，动点 的纵坐标 关于 都是单调递增的.
5.(2010年高考天津卷理科7)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若 ，sinC=2 sinB，则A=( )
（A）30° （B）60° （C）120° （D）150°
【答案】A
【解析】由sinC=2 sinB结合正弦定理得： ，所以由于余弦定理得：
，所以A=30°，选A.
6．（2010年高考四川卷理科6）将函数 的图像上所有的点向右平行移动 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是( )
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】C
8．（2010年高考陕西卷理科3）对于函数 ，下列选项中正确的是 （ ）
（A） f（x）在（ ， ）上是递增的 （B） 的图像关于原点对称
（C） 的最小正周期为2 （D） 的最大值为2
【答案】B
【解析】∵ ，∴易知 在 上是递减的，∴选项 错误.
∵ ，∴易知 为奇函数，∴ 的图象关于原点对称，∴选项 正确.
∵ ，∴ ，∴选项 错误.
∵ ，∴ 的最大值为 ，∴选项 错误.
9．(2010年高考全国2卷理数7）为了得到函数 的图像，只需把函数 的图像( )
（A）向左平移 个长度单位 （B）向右平移 个长度单位
（C）向左平移 个长度单位 （D）向右平移 个长度单位
【答案】B
【解析】 = ， = ，所以将 的图像向右平移 个长度单位得到 的图像，故选B.
10．（2010年高考上海市理科15）“ ”是“ ”成立的（ ）
（A）充分不必要条. （B）必要不充分条.
（C）充分条. （D）既不充分也不必要条.
【答案】A
11. (2010年高考重庆市理科6)已知函数 的部分图象如题(6)图所示，则（ ）
（A） （B）
（C） (D)
【答案】D
【解析】 ,由五点作图法知 ， = - .
12．（2009年高考广东卷A科第9题）函数 是（ ）
A．最小正周期为 的奇函数 B. 最小正周期为 的偶函数
C. 最小正周期为 的奇函数 D. 最小正周期为 的偶函数
【答案】A
【解析】因为 为奇函数, ,所以选A.
二．填空题：
13.(2011年高考安徽卷江苏7)已知 则 的值为__________
【答案】
【解析】因为 ,而 =-cot2x,所以 ,
又因为 ,所以解得 ,所以 的值为 .
14．(2011年高考北京卷理科9)在 中。若b=5， ，tanA=2，则sinA=____________；a=_______________。
【答案】
【解析】由tanA=2得sinA= ，由正弦定理容易求得 .
15．(2011年高考福建卷理科14)如图，△ABC中，AB=AC=2，BC= ，点D 在BC边上，∠ADC=45°，则AD的长度等于______。
【答案】
【解析】由正余弦定理容易求出结果.
16．(2011年高考上海卷理科6)在相距2千米的 ． 两点处测量目标 ，若 ，则 、 两点之间的距离是 千米。
【答案】
【解析】由正弦定理得 ，解得AC= .
三．解答题：
17.(2011年高考重庆卷理科16)设 满足 ，求函数 在 上的最大值和最小值
【解析】 ,
由 得 ，解得：
因此
当 时， ， 为增函数，
当 时， ， 为减函数，
所以 在 上的最大值为 ,又因为 ， ,
所以 在 上的最小值为 .
18．(2011年高考北京卷理科15)已知函数 。
（Ⅰ）求 的最小正周期：
（Ⅱ）求 在区间 上的最大值和最小值。
【解析】（Ⅰ）因为
所以 的最小正周期为
（Ⅱ）因为
于是，当 时， 取得最大值2；
当 取得最小值—1.
19．(2011年高考福建卷理科16)已知等比数列{an}的公比q=3，前3项和S3= 。
（I）求数列{an}的通项公式；
（II）若函数 在 处取得最大值，且最大值为a3，求函数f（x）的解析式。
20．（2010年高考东卷理科17）已知函数 ，其图象过点（ , ）．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）将函数 的图象上各点的横坐标缩短到原的 ，纵坐标不变，得到函数 的图象，求函数 在[0, ]上的最大值和最小值．
【解析】（Ⅰ）因为已知函数图象过点（ , ），所以有
，即有
= ，所以 ，解得 。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，所以
= = ，
所以 = ，因为x [0, ]，所以 ，
所以当 时， 取最大值 ；当 时， 取最小值 。
21．（2010年高考福建卷理科19）
。 ，轮船位于港口O北偏西 且与该港口相距20海里的A处，并以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小船沿直线方向以 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇。
（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
（2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。
【解析】如图，由（1）得
而小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，故轮船与小艇不可能在A、C（包含C）的任意位置相遇，设 ，OD= ，
由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为 和 ，
所以 ，解得 ，
从而 值，且最小值为 ，于是
当 取得最小值，且最小值为 。
此时，在 中， ，故可设计航行方案如下：
航行方向为北偏东 ，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇.
22．（2009年高考北京卷理科第15题）在 中，角 的对边分别为 ，