逍遥右脑 2013-04-14 15:10
池州一中2012-2013学年度高三月考
数学试卷(科)
第Ⅰ卷 （ 共50分）
一、：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
⒈ 已知 ，集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
⒉ 已知函数 ，则 ( )
A． B． C． D．
⒊ 设 为表示不超过 的最大整数,则函数 的定义域为 ( )
A． B． C． D．
⒋ 设 ，则（ ）
A． B． C． D．
⒌ 已知函数 （ ）的图象在 处的切线斜率为 （ ），且当 时，其图象经过 ，则 （ ）
A． B． C． D．
⒍ 命题“函数 是奇函数”的否定是（ ）
A． , B． ,
C． , D． ，
⒎ 把函数 的图象向左平移 个单位得到 的图象
（如图），则 （ ）
A． B． C. D.
⒏ Direchlet函数定义为： ，关于函数 的
性质叙述不正确的是（ ）
A． 的值域为 B． 为偶函数
C． 不是单调函数 D． 不是周期函数
⒐ 函数 的零点个数是（ ）
A． B． C． D．
⒑ 已知向量 、 的夹角为 ， ， ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题，共100分）
二、题：共5小题，每小题5分，计25分.
⒒ 函数 的定义域为 .
⒓ 已知 ， ，则 .
⒔ 函数 可表示为奇函数 与偶函数 的和 ,则 .
⒕ 给出下列命题：
⑴ 是幂函数；
⑵“ ”是“ ”的充分不必要条件；
⑶ 的解集是 ；
⑷ 函数 的图象关于点 成中心对称；
⑸ 命题“若 ，则 ”的逆否命题为真命题.
其中真命题的序号是 （写出所有正确命题的序号）
⒖ 对于三次函数 ，给出定义：设 是函数 的导数， 是 的导数，若方程 有实数解 ，则称点 为函数 的“拐点”，某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.给定函数 ，请你根据上面探究结果，解答以下问题：
（1）函数 的对称中心为 ；
（2）计算 .
三、解答题：本大题共6小题，计75分.解答应写出必要的字说明，证明过程或演算步骤.
⒗（本小题满分12分）
已知向量 ， ，设函数 , .
（Ⅰ）求函数 的最小正周期和单调递减区间；
（Ⅱ）若方程 在区间 上有实数根，求 的取值范围.
⒘（本小题满分12分）
已知命题 :实数 满足 ；命题 ：实数 满足 ，若 是 的必要不充分条件，求实数 的取值范围.
⒙（本小题满分13分）
已知 （ 为常数， 且 ）．设 ， ，…， ，…（ ）是首项为2，公比为的等比数列．
（Ⅰ）求证：数列 是等差数列；
（Ⅱ）若 ，且数列 的前 项和为 ，当 时，求 .
⒚ (本小题满分12分)
已知 的内角 所对的边分别是 ，设向量 ， ，
.
（Ⅰ）若 // ，求证： 为等腰三角形；
（Ⅱ）若 ⊥ ，边长 ， ，求 的面积.
⒛（本小题满分12分）
如图,在 中,设 , , 的中点为 , 的中点为 , 的中点恰为 .
（Ⅰ）若 ,求 和 的值;
（Ⅱ）以 , 为邻边, 为对角线,作平行四边形 ,
求平行四边形 和三角形 的面积之比 .
21.(本小题满分14分)
已知 ， ， ，…， .
（Ⅰ）请写出的 表达式（不需证明）；
（Ⅱ）求 的极小值 ；
（Ⅲ）设 ， 的最大值为 ， 的最小值为 ，试求 的最小值.
池州一中2013届高三第三次月考(10月)
数学（科）答案
一、选择题：
题号12345678910
答案DBC ABACDC A
二、题
题号1112131415
答案
⑵⑷⑸ ，
11. 解：由 ，即定义域为
三、解答题
16. 解: （Ⅰ）由题意知：
f(x) =
∴f(x)的最小正周期 = .................... .4分
∴f(x)的单调递减区间 [ ......................6分
17．解：令
“ ”
而 的必要不充分条件，∴ 的必要不充分条件
故A B ∴
18. 解：（1）由题意f（an）＝ ，即 ．
∴an＝n＋1，（2分） ∴an＋1－an＝1，
∴数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列．
（2）由题意 ＝（n＋1）•n+1，
当＝2时，bn＝（n＋1）•2n＋1
∴Sn＝2•22＋3•23＋4•24＋…＋（n＋1）•2n＋1 ①
①式两端同乘以2，得
2Sn＝2•23＋3•24＋4•25＋…＋n•2n＋1＋（n＋1）•2n＋2 ②
②－①并整理，得
Sn＝－2•22－23－24－25－…－2n＋1＋（n＋1）•2n＋2
＝－22－（22＋23＋24＋…＋2n＋1）＋（n＋1）•2n＋2
＝－22－22(1－2n)1－2＋（n＋1）•2n＋2
＝－22＋22（1－2n）＋（n＋1）•2n＋2＝2n＋2•n．
19. 【解析】证明：（Ⅰ） 即 ，
其中 是 外接圆半径， --------（5分）
为等腰三角形 -----（6分）
解（Ⅱ）由题意可知 ⊥ ， --------（8分）
由余弦定理可知，
---------（10分）
………………………（12分）
20．（1）解：∵Q为AP中点，∴ P为CR中点，
∴
同理：
而 ∴
即
（2）
∴
21. 【解析】本小题主要考查函数的概念、导数应用、函数的单调区间和极值等知识，考查运用数学知识解决问题及推理的能力。
（Ⅰ）证明：对于任意的a>0， ，均有 ①
在①中取
∴ ②
（Ⅱ）证法一：当 时，由①得
取 ，则有 ③
当 时，由①得
取 ，则有 ④
综合②、③、④得 ;
证法二:
令 时，∵ ，∴ ，则
而 时， ，则
而 ， ∴ ，即 成立
令 ，∵ ，∴ ，则
而 时， ，则
即 成立。综上知
（Ⅲ）解法1：由（Ⅱ）中的③知，当 时， ，
从而
又因为k>0，由此可得
－0+
?极小值2?
所以 在区间 内单调递减，在区间（ ）内单调递增。
解法2：由（Ⅱ）中的③知，当 时， ，
设 则
又因为k>0，所以
（i）当 ；
（ii）当
所以 在区间 内单调递减, 在区间（ ）内单调递增.