山东省威海市2015届高三下学期第一次模拟考试数学（理）试题

高三理科数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共5页．考试时间120分钟．满分150分．答题前，考生务必用0.5毫米的黑色签字笔将自己的姓名、座号、考号填写在答题纸规定的位置．第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项：每小题选出答案后，用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．一、选择题本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合,则“”是“”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件2. （为虚数单位），则（A）（B）（C）（D）3.若，则下列不等式成立的是（A）（B）（C）（D）4.根据给出的算法框图，计算（A）（B）（C）（D）5.某班级统计一次数学测试后的成绩，并制成了如下的频率分布表，根据该表估计该班级的数学测试平均分为分组人数5152010频0.10.30.40.2（A）（B）（C）（D）6.已知是两条不同的直线，是一个平面，且∥，则下列正确的是（A）若∥，则∥（B）若∥，则∥ （C）若，则（D）若，则7.已知函数向左平移个单位后，得到函数，下列关于的说法正确的是（A）图象关于点中心对称 （B）图象关于轴对称（C）在区间单调递增 （D）在单调递减8.任取三个整数，至少有一个数为偶数的概率为（A）（B）（C）（D）9.二项式的展开式中第4项为常数项，则常数项为（A）（B）（C）（D）10.函数为偶函数，且在单调递增，则的解集为（A）（B）（C）（D）11.双曲线的离心率，则双曲线的渐近线的交点为顶点的三角形的面积为（A）（B）（C）（D）12.，设函数的零点为，的零点为，则的最值为（A）（B）（C）（D）第Ⅱ卷（非选择题 共90分）注意事项：请用0.5毫米的黑色签字笔将每题的答案填写在答题纸的指定位置．书写的答案如需改动，要先划掉原来的答案，然后再写上新答案．不在指定答题位置答题或超出答题区域书写的答案无效．在试题卷上答题无效．第Ⅱ卷共包括填空题和解答题两道大题．二、填空题本大题共4小题，每小题4分，共16分13.若函数在上有两个不同的零点，则实数的取值范围为_______________________.14.已知圆过椭圆的两焦点且关于直线对称，则圆的方程为__________________.15.设满足约束条件，则所在平面区域的面积为___________.16.函数的定义域为，其图象上任一点满足，则①函数一定是偶函数； ②函数可能是奇函数；③函数在单调递增；④若是偶函数，其值域为正确的序号为_______________.（把所有正确的序号都填上）三、解答题本大题共６小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. （本小题满分12分）已知向量，.（Ⅰ）若，，且，求；（Ⅱ）若，求的取值范围.18. （本小题满分12分）一个袋子中装有7个小球，其中红球4个，编号分别为1,2,3,4，黄球3个，编号分别为2,4,6，从袋子中任取4个小球（假设取到任一小球的可能性相等）.（Ⅰ）求取出的小球中有相同编号的概率；（Ⅱ）记取出的小球的最大编号为，求随机变量的分布列和数学期望.19.（本小题满分12分） 如图，矩形所在的平面和平面互相垂直，等腰梯形中，∥，=2，，，，分别为，的中点，为底面的重心（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值20.（本小题满分12分）已知正项数列，其前项和满足且是和的等比中项.(Ⅰ)求数列的通项公式；(Ⅱ) 符号表示不超过实数的最大整数，记，求.21.（本小题满分13分）过椭圆的左顶点斜率为2的直线，与椭圆的另一个交点为，与轴的交点为，已知.（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设动直线与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点，若轴上存在一定点，使得，求椭圆的方程.22.（本小题满分13分）设函数（其中），，已知们在处有相同的切线.(Ⅰ)求函数，的解析式；(Ⅱ)求函数在上的最小值；（Ⅲ）若对恒成立，求实数的取值范围.理科数学参考答案选择题填空题13. 14. 15. 16. 三、解答题17.（本小题满分12分）∴ ----------------1分∵∴整理得 ----------------------3分∴过 ----------------------4分∵∴ --------------6分（Ⅱ） ----------------------8分令 ----------------------9分∴当时，，当时， ----------------------11分∴的取值范围为. ----------------------12分18．（本小题满分12分） (Ⅰ)：设取出的小球中有相同编号的，编号相同可分成一个相同和两个相同 ----------------------2分 ----------------------4分 (Ⅱ) 随机变量X的--------------------6分 ， ----------------------7分， ----------------------8分 ----------------------9分所以随机变量X的分布列346----------------10分所以随机变量X的数学期望 . ----------------------2分19.（本小题满分12分）延长交于，则为的中点，又为的中点，∴∥，又∵平面，∴∥平面 -------------------2分连结，则∥，平面，∥平面 -----------------4分∴平面∥平面， ----------------5分平面 ----------------------6分（Ⅱ）矩形所在的平面和平面互相垂直， 所以平面，又平面 ----------------7分又，，，由余弦定理知，得 ----------------8分∴⊥平面 ---------------------9分所以为直线与平面所成的角， ---------------------10分在直角三角形中 ----------------------12分法二：以为原点建立如图直角坐标系， -----------------设平面的法向量为，， -------------------8分由 所以，则 ，所以，-----------------∴ ---------------------11分∴直线与平面所成角的正弦值 -------------------12分20.（本小题满分12分）Ⅰ) 由①知② ----------------------1分由①-②得整理得 ----------------------2分∵为正项数列∴，∴ ----------------------3分所以为公差为的等差数列，由得或 ----------4分 当时，，不满足是和的等比中项.当时，，满足是和的等比中项. 所以. ----------------------6分(Ⅱ) 由得， ----------------------7分由符号表示不超过实数的最大整数知，当时，，----------------------8分所以令∴① ----------------------9分② ----------------------10分①-②得即. ----------------------12分21. （本小题满分1分）,设直线方程为,令,则,∴, ----------------------2分∴ ----------------------3分∵∴=,整理得 --------------------4分∵B点在椭圆,∴ ----------------------5分∴即,∴ ----------------------6分（Ⅱ）可设,∴椭圆的方程为 ----------------------7分由得 ----------------------8分∵动直线与椭圆有且只有一个公共点,即整理得 ----------------------9分设P则有,∴ ----------------------10分又,Q若轴上存在一定点，使得恒成立 整理得, ----------------------12分∴恒成立,故所求椭圆方程为 ----------------------13分22. （本小题满分1分） Ⅰ) ， ----------------------1分由题意，两函数在处有相同的切线.. ----------------------3分 (Ⅱ) ，由得，由得，在单调递增，在单调递减. ----------------------4分当时，在单调递减，单调递增，∴. ----------------------5分当时，在单调递增，； ----------------------6分（），由题意当 ----------------------7分∵恒成立， ----------------------8分 ， ----------------------9分 ，由得；由得∴在单调递减，在单调递增 ----------------------10分①当，即时，在单调递增，，不满足. ----------------11分 当，即时，由①知，，满足. ---------------12分③当，即时，在单调递减，在单调递增，满足.综上所述，满足题意的的取值范围为. ----------------------13分 每天发布最有价值的高考资源 每天发布最有价值的高考资源 1 0 每天发布最有价值的高考资源是否开始输入结束输出第4题图FACDEOBMFACDEOBM山东省威海市2015届高三下学期第一次模拟考试数学（理）试题
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