逍遥右脑 2013-03-04 14:22
2013届高三数学章末综合测试题（5）三角函数、解三角形
一、：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
1．已知角α的终边过点P(－8，－6sin30°)，且cosα＝－45，则的值为( )
A．－12 B.12 C．－32 D.32
解析：∵OP＝642＋9，且cosα＝－8642＋9＝－45，
∴＞0，且642642＋9＝－1625＝－45，∴＝12.
答案：B
2．已知扇形的周长为6 c，面积是2 c2，则扇形的圆心角的弧度数是( )
A．1 B．4 C．1或4 D．2或4
解析：设扇形的圆心角为α rad，半径为R，
则2R＋α•R＝6，12α•R2＝2，解得α＝1，或α＝4.
答案：C
3．已知函数f(x)＝sinωx＋π3(ω＞0)的最小正周期为π，则该函数图像( )
A．关于直线x＝π4对称 B．关于点(π3，0)对称
C．关于点(π4，0)对称 D．关于直线x＝π3对称
解析：∵T＝π，∴ω＝2.
∵当x＝π4 时，f(x)＝12；当x＝π3时，f(x)＝0，∴图像关于(π3，0)中心对称.
答案：B
4．要得到函数y＝cos2x的图像，只需将函数y＝cos2x－π3的图像( )
A．向右平移π6个单位 B．向右平移π3个单位
C．向左平移π3个单位 D．向左平移π6个单位
解析：由cos2x＝cos2x－π3＋π3＝cos2x＋π6－π3
知，只需将函数y＝cos2x－π3的图像向左平移π6个单位.
答案：D
5．若2a＝3sin2＋cos2，则实数a的取值范围是( )
A.0，12 B.12，1
C.－1，－12 D.－12，0
解析：∵3sin2＋cos2＝2sin2＋π6，又34π＜2＋π6＜56 π，∴1＜2sin2＋π6＜2，
即1＜2a＜2，∴0＜a＜12.
答案：A
6．函数y＝3sin－2x－π6(x∈[0，π])的单调递增区间是( )
A.0，5π12 B.π6，2π3
C.π6，11π12 D.2π3，11π12
解析：∵y＝－3sin2x＋π6，∴由2kπ＋π2≤2x＋π6≤2kπ＋3π2，k∈Z，得
kπ＋π6≤x≤kπ＋2π3，k∈Z. 又x∈[0，π]，∴k＝0.此时x∈π6，2π3.
答案：B
7．已知tanα＝12，tan(α－β)＝－25，那么tan(2α－β)的值是( )
A．－112 B.112 C.322 D.318
解析：tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝tanα＋tan(α－β)1－tanαtan(α－β)＝12－251－12×－25＝112.
答案：B
8．定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈0，π2时，f(x)＝sinx，则f5π3的值为( )
A．－12 B.12 C．－32 D.32
解析：f5π3＝f5π3－2π＝f－π3＝fπ3＝sinπ3＝32.
答案：D
9．已知cosπ4＋θcosπ4－θ＝14，则sin4θ＋cos4θ的值等于( )
A.34 B.56 C.58 D.32
解析：由已知，得sinπ4－θcosπ4－θ＝14，即12sinπ2－2θ＝14，∴cos2θ＝12.
∴sin22θ＝1－122＝34。则sin4θ＋cos4θ＝1－2sin2θcos2θ＝1－12sin22θ＝1－38＝58.
答案：C
10．已知α、β为锐角，且sinα＝55，sinβ＝1010，则α＋β＝( )
A．－3π4 B.π4或3π4 C.3π4 D.π4
解析：∵α、β为锐角，且sinα＝55，sinβ＝1010，
∴cosα＝255，cosβ＝31010，且α＋β∈(0，π)，∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ
＝65050－5050＝55050＝22， ∴α＋β＝π4.
答案：D
11．在△ABC中，cos2B2＝a＋c2c(a、b、c分别为角A、B、C的对边)，则△ABC的形状为( )
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
解析：∵cos2B2＝a＋c2c，∴2cos2B2－1＝a＋cc－1，
∴cosB＝ac，∴a2＋c2－b22ac＝ac，∴c2＝a2＋b2， 故△ABC为直角三角形．
答案：B
12．在沿海某次台风自然灾害中，台风中心最大风力达到10级以上，大风降雨给沿海地区带为严重的灾害，不少大树被大风折断，某路边一树干被台风吹断后，折成与地面成45°角，树干也倾斜为与地面成75°角，树干底部与树尖着地处相距20米，则折断点与树干底部的距离是( )
A.2063米 B．106米 C.1063米 D．202米
解析：设折断点与树干底部的距离为x米．
则xsin45°＝20sin(180°－75°－45°)＝20sin60°，
∴x＝20×sin45°sin60°＝2023＝2063(米).
答案：A
二、题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．
13．若π4是函数f(x)＝sin2x＋acos2x(a∈R，且为常数)的零点，则f(x)的最小正周期是__________．
解析：由题意，得fπ4＝sinπ2＋acos2π4＝0，∴1＋12a＝0，∴a＝－2.
∴f(x)＝sin2x－2cos2x＝sin2x－cos2x－1＝2sin2x－π4－1，
∴f(x)的最小正周期为π.
答案：π
14．在△ABC中，tanA＋tanB＋3＝3tanAtanB.sinAcosB＝34， 则△ABC的形状为__________．
解析：∵tanA＋tanB＝3(tanAtanB－1)，
∴tan(A＋B)＝tanA＋tanB1－tanAtanB＝－3， ∴tanC＝3，又C∈(0，π)，∴C＝π3.
∴sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝32，
∴cosAsinB＝34，∴sinAcosB＝cosAsinB，∴sin(A－B)＝0，∴A＝B.
∴△ABC为正三角形．
答案：正三角形
15．若将函数y＝tanωx＋π4(ω＞0)的图像向右平移π6个单位后，与函数y＝tanωx＋π6的图像重合，则ω的最小值为__________．
解析： 由已知，得tanωx－π6＋π4＝tanωx－ω6π＋π4＝tanωx＋π6，得π4－ω6π＝kπ＋
π6(k∈Z)，∴ω＝－6k＋12(k∈Z)．∵ω＞0，∴当k＝0时，ω的 最小值为12.
答案：12
16．给出下列命题：
①半径为2，圆心角的弧度数为12的扇形面积为12；
②若α、β为锐角，tan(α＋β)＝12，tanβ＝13，则α＋2β＝π4；
③若A 、B是△ABC的两个内角，且sinA＜sinB，则BC＜AC；
④若a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C的对边，且a2＋b2－c2＜0，则△ABC是钝角三角形．
其中真命题的序号是__________．
解析：①中，S扇形＝12α•R2＝12×12×22＝1，
∴①不正确．
②中，由已知可得tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝tan(α＋β)＋tanβ1－tan(α＋β)tanβ＝13＋121－13×12＝1，
又α、β为锐角，tan(α＋β)＝12＞0，∴0＜α＋β＜π2.
又由tanβ＝13＜1，得0＜β＜π4， ∴0＜α＋2β＜34π，∴α＋2β＝π4.∴②正确．
③中，由sinA＜sinB⇒BC2R＜AC2R(2R为△ABC的外接圆半径)⇒BC＜AC.∴③正确．
④中，由a2＋b2－c2＜0知，c osC＜0，
∴C为钝角，∴△ABC为钝角三角形．∴④正确．
答案：②③④
三、解答题：本大题共6小题，共70分．
17．(10分)已知sinα＝－55 ，tanβ＝－13，且α、β∈－π2，0.
(1)求α＋β的值； (2)求2sin＝π4－α＋cosπ4＋β的值．
解析：(1)∵sinα＝－55，α∈－π2，0， ∴cosα＝255.∴tanα＝－12，
∴tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝－1. 又∵－π＜α＋β＜0，∴α＋β＝－π4.
(2)由(1)知，α＋β＝－π4，
2sinπ4－α＋cosπ4＋β＝2sinπ4－α＋cosπ4－π4－α＝2sinπ4－α＋cosα
＝2cosα－sinα＝2×255＋55＝5.
18．(12分)已知α、β为锐角，向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，c＝12，－12.
(1)若a•b＝22，a•c＝3－14，求角2β－α的值；
(2)若a＝b＋c，求tanα的值．
解析：(1)a•b＝(cosα，sinα)•(cosβ，sinβ)
＝cosαcosβ＋sinαsinβ
＝cos(α－β)＝22.①
a•c＝(cosα，sinα)•12，－12
＝12cosα－12sinα＝3－14.②
又∵0＜α＜π2，0＜β＜π2，∴－π2＜α－β＜π2.
由①得α－β＝±π4，由②得α＝π6.
∵α、β为锐角，∴β＝5π12.从而2β－α＝23π.
(2)由a＝b＋c，可得cosβ＝cosa－12， ③sinβ＝sinα＋12. ④
③2＋④2，得cosα－sinα＝12.
∴2sinαcosα＝34.
又∵2sinαcosα＝2sinαcosαsin2α＋cos2α＝2tanαtan2α＋1＝34，
∴3tan2α－8tanα＋3＝0.
又∵α为锐角，∴tanα＞0，
∴tanα＝8±82－4×3×36＝8±286＝4±73.
19．(12分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A＞0，ω＞0，－π2＜φ＜π2一个周期的图像如图所示．
(1)求函数f(x)的表达式；
(2)若f(α)＋fα－π3＝2425，且α为△ABC的一个内角，
求sinα＋cosα的值．
解析：(1)由图知，函数的最大值为1，则A＝1，
函数f(x)的周期为T＝ 4×π12＋π6＝π.
而T＝2πω，则ω＝2.
又x＝－π6时，y＝0，∴sin2×－π6＋φ＝0.
而－π2＜φ＜π2，则φ＝π3.
∴函数f(x)的表达式为f(x)＝sin2x＋π3.
(2)由f(α)＋fα－π3＝2425，得
sin2α＋π3＋sin2α－π3＝2425，化简，得sin2α＝2425.
∴(sinα＋cosα)2＝1＋sin2α＝4925.
由于0 ＜α＜π，则0＜2α＜2π，
但sin2α＝2425＞0，则0＜2α＜π，即α为锐角，
从而sinα＋cosα＞0，因此sinα＋cosα＝75.
20．(12分)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且bcosC＝3acosB－ccosB.
(1)求cosB的值．
(2)若BA→•BC→＝2，b＝22，求a 和c.
解析：(1)△ABC中，∵bcosC＝3acosB－ccosB，
由正弦定理，得sinB•cosC＝3sinAcosB－sinCco sB，
∴sinBcosC＋sinCcosB＝3sinAcosB，
∴sin(B＋C)＝sinA＝3sinAcosB.
∵sinA≠0，∴cosB＝13.
(2)∵BA→•BC→＝ac•cosB＝ 13ac＝2，∴ac＝6.
∵b2＝8＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－4，
∴a2＋c2＝12，∴a2－2ac＋c2＝0，
即(a－c)2＝0，∴a＝c＝6.
21．(12分)已知△ABC是半径为R的圆的内接三角形，且2R(sin2A－sin2C)＝(2a－b)sinB.
(1)求角C；
(2)试求△ABC面积S的最大值．
解析：(1)由2R(sin2A－sin2C)＝(2a－b)sinB，
两边同乘以2R，得
(2RsinA)2－(2RsinC)2＝(2a－b)2RsinB，
根据正弦定理，得a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，
∴a2－c2＝(2a－b)b，即a2＋b2－c2＝2ab.
再由余弦定理，得cosC＝a2＋b2－c22ab＝22，
又0＜C＜π，∴C＝π4.
(2)∵C＝π4，∴A＋B＝3π4.
S＝12absinC＝24(2RsinA)(2RsinB)＝2R2sinAsinB
＝2R2sinAsin34π－A＝22R2sin2A－π4＋12R2，
∴当2A－π4＝π2，即A＝38π时，
S有最大值12＋22R2.
22．(12分)如图，某市拟在长为8 k的道路OP的一侧修建一条运动赛道．赛道的前一部分为曲线段OS，该曲线段为函数y＝Asinωx(A＞0，ω＞0)，x∈[0,4]的图像，且图像的最高点为S(3,23)；赛道的后一部分为折线段NP.为保证参赛运动员的安全，限定∠NP＝120°.
(1)求A，ω的值和，P两点间的距离；
(2)应如何设计，才能使折线段赛道NP最长？
解析：方法一：
(1)依题意，
故NP+N＝1033sinθ＋1033sin(60°－θ)
＝103312sinθ＋32cosθ
＝1033sin(θ＋60°)．
∵0°＜θ＜60°，∴当θ＝30°时，折线段赛道NP最长．
即将∠PN设计为30°时，折线段赛道NP最长．
方法二：(1)同方法一；
(2)在△NP中，∠NP＝120°，P＝5，
由余弦定理，得
N2＋NP2－2N•NP•cos∠NP＝P2，
即N2＋NP2＋N•NP＝25.
故(N＋NP)2－25＝N•NP≤N＋NP22，
从而34(N＋NP)2≤25，即N＋NP≤1033，
当且仅当N＝NP时等号成立．
即设计为N＝NP时，折线段赛道NP最长．