2013届高三数学立体几何测试题(有答案)

逍遥右脑  2013-02-26 09:06



j 2013届高三数学章末综合测试题(14)立体几何

一、:本大题共12小题,每小题5分,共60分.
1 .建立坐标系用斜二测画法画正△ABC的直观图,其中直观图不是全等三角形的一组是(  )

解析:由直观图的画法知选项C中两三角形的直观图其长度已不相等.
答案:C
2.已知几何体的三视图(如下图),若图中圆的半径为1,等腰三角形的腰为3,则该几何体的表面积为(  )

A.4π    B. 3π    C.5π    D.6π
解析:由三视图知,该几何体为一个圆锥与一个半球的组合体,而圆锥的侧面积为π×1×3=3π,半球的表面积为2π×12=2π,∴该几何体的表面积为3π+2π=5π.
答案:C
3.已知a,b,c,d是空间中的四条直线,若a⊥c,b⊥c,a⊥d,b⊥d,那么(  )
A.a∥b,且c∥d
B.a,b,c,d中任意两条都有可能平行
C.a∥b或c∥d
D.a,b,c,d中至多有两条平行
解析:如图,作一长方体,从长方体中观察知C选项正确.

答案:C
4.设α、β、γ为平面,、n、l为直线,则⊥β的一个充分条件是(  )
A.α⊥β,α∩β=l,⊥l B.α∩γ=,α⊥γ,β⊥γ
C.α⊥γ,β⊥γ,⊥α D.n⊥α,n⊥β,⊥α
解析:∵n⊥αn⊥β⇒α∥β⊥α⇒⊥β.
答案:D
5.如图,平行四边形ABCD中,AB⊥BD,沿BD将△ABD折起,使面ABD⊥面BCD,连接AC,则在四面体ABCD的四个面中,互相垂直的平面的对数为(  )

A.1 B.2 C.3 D.4
解析:AB⊥BD,面ABD⊥面BCD,且交线为BD,则AB⊥面BCD,则面ABC⊥面BCD.同理CD⊥面ABD,则面ACD⊥面ABD,因此共有3对互相垂直的平面.
答案:C
6.给定下列四个命题:
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行;
②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直;
③垂直于同一直线的两条直线相互平行;
④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.
其中,为真命题的是(  )
A.①和② B.②和③ C.③和④ D.②和④
解析:①中两直线不一定相交,∴①错误,③命题在同一平面内成立,在空间不正确,②④正确.
答案:D
7.设a、b是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面,则下 列命题中正确的是(  )
A.若a∥b,a∥α,则b∥α
B.若α⊥β,a∥α,则a⊥β
C.若α⊥β,a⊥β,则a∥α
D.若a⊥b,a⊥α,b⊥β,则α⊥β
解析:∵选项A中b∥α,或b?α;选项B中a⊥β或a?β,或a∥β;选项C中a∥α,或a?α. [新 标 第 一 网
答案:D
8.已知三棱柱的侧棱长为2,底面是边长为2的正三角形,AA1⊥面A1B1C1,主视图是边长为2的正方形,则侧视图的面积为(  )
A.4 B.23 C.22 D.3
解析:左视图是长为2,宽为3的长方形,故其面积为23.
答案:B
9.若、n为两条不同的直线,α、β为两个不同的平面 ,则以下命题的正确的是(  )
A.若∥α,n?α,则∥n
B.若∥α,n∥α,则∥n
C.若∥α,?β,α∩β=n,则 ∥n
D.若α∩β=,n∥,则n∥α
解析:当∥α,n?α时,与n时可能平行,还可能异面,
∴A选项错误.
当∥α,n∥α时,与n可能平行,也可能异面, 还可能相交.∴B选项错误.
选项C即为线面平行的性质定理,∴C正确.
当α∩β=,n∥n时,n与α可能平行,n也可能在α内.
答案:C
10.在正四面体P-ABC中,D、E、F分别是AB、BC、CA的中点,下面四个结论中不成立的是(  )
A.BC∥平面PDF B.DF⊥平面PAE
C.平面PDF⊥平面ABC D.平面PAE⊥平面ABC

解析:如图,∵BC∥DF,
∴BC∥平面PDF,∴A正确.
由图知BC⊥PE,BC⊥AE,
∴BC⊥平面PAE,
∴DF⊥平面PAE,∴B正确.
答案:C

11.正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,BB1=4,长为1的线段PQ在棱AA1上移动,长为3的线段N在棱CC1上移动,点R在棱BB1上移动,则四棱锥R-PQN的体积是(  )
A.6 B.10
C.12 D.不确定
解析:四棱锥R-PQ N的底面积为
S=S△PQ+S△NP=12PQ•AC+12N•AC
=12(PQ+N)•AC=12(1+3)×32=62.
其高h=322,
VR-PQN=13Sh=13×62×322=6.
答案:A
12.点P在正方形ABCD所在平面外,PD⊥平面ABCD,PD=AD,则PA与BD所成的角的度数为(  )
A.30° B.45° C.60° D.90°
解析:将图形补成一个正方体如图,则PA与BD所成角等于BC′与BD所成角,即∠DBC′.在等边三角形DBC′中,∠DBC′=60°,即PA与BD所成角为60°..

答案:C
第Ⅱ卷 (非选择 共90分)
二、题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分.
13.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在侧面BCC1B1及其边界上移动,并且总是保持AP⊥BD1,则动点P的轨迹是__________.
解析:由题意,当P点移动时,AP确定的平面与BD1垂直,∴点P应在线段B1C上.
答案:线段B1C

14.如图,已知球O的面上四点A、B、C、D,DA⊥平面ABC,AB⊥BC,DA=AB=BC=3,则球O的体积等于__________.
解析:由题意,△DAC,△DBC都是直角三角形,且有公共的斜边,所以DC边的中点到B和A的距离都等于DC的一半,所以DC边的中点是球心并且半径为线段DC长的一半.
由于DC=DA2+AB2+BC2=3,
的以球的体积V=43π323=92π.
答案:92π
15.已知球O的半径为1,A,B,C三点都在球面上,且每两点间的球面距离为π2,则球心O到平面ABC的距离为__________.

解析:球心O与A,B,C三点构成正三棱锥O-ABC,如图所示,
已知OA=OB=OC=R=1,
∠AOB=∠BOC=∠AOC=90°,
由此可得AO⊥面BOC.S△BOC=12,S△ABC=32.
由VA-BOC=VO-ABC,得h=33.
答案:33
16.某几何体的一条棱长为7,在该几何体的主视图中,这条棱的投影是长为6的线段,在该几何体的左视图与俯视图中,这条棱的投影分别是长为a 和b的线段,则a+b的最大值为__________.

解析:如图,设该棱为线段AB,其中A点在平面xOy内,点B在平面yOz内,设AB的主视图投影为BC,左视图投影为BE,俯视图投影为AD.

∴t≤4,即a+b≤4.故a+b的最大值为4.
答案:4
三、解答题:本大题共6小题,共70分.

17.(10分)如图所示,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为DD1、DB的中点.
(1)求证:EF∥平面ABC1D1;
(2)求三棱锥VB1-E FC的体积.
解析:(1)连接BD1,在△DD1B中,
E、F分别为D1D,DB的中点,则

EF∥D1B

(2)∵F为BD的中点,
∴CF⊥BD,
又∵CF⊥BB1,BB1∩BD=B,∴CF⊥平面BDD1B1,
∴CF⊥平面EFB1,
且CF=BF=2.
∵EF=12BD1=3,
B1F=BF2+BB12=(2)2+22=6,
B1E=B1D12+D1E2=(22)2+12=3,
∴EF2+B1F2=B1E2,即∠EFB1=90°,
∴VB1-EFC=VC-B1EF=13•S△B1EF•CF
=13×12•EF•B1F•CF
=13×12×3×6×2=1.

18.(12分)如图,在直三棱柱(侧棱与底面垂直的三棱柱)ABC-A1B1C1中,AB=8,AC=6,BC=10,D是BC边的中点.
(1)求证:AB⊥A1C;
(2)求证:A1C∥平面AB1D.

解析:(1)直三棱柱ABC-A1B1C1,底面三边长AB=8,AC=6,BC=10,∴AC⊥AB,
又AA1⊥平面ABC,∴AA1⊥AB,AA1∩AC=A,
∴AB⊥平面A1C,
∴AB⊥A1C.

19.(12分)如图,四边形ABCD为矩形,平面ABCD⊥平面ABE,BE=BC,F为CE上的一点,且BF⊥平面ACE.
(1)求证:AE⊥BE;
(2)求证:AE∥平面BFD.
解析:(1)∵平面ABCD⊥平面ABE,
平面ABCD∩平面ABE=AB ,AD⊥AB.
∴AD⊥平面ABE,AD⊥AE.
∵AD∥BC,则BC⊥AE.
又BF⊥平面ACE,则BF⊥AE.
∵BC∩BF=B,∴AE⊥平面BCE,
∴AE⊥BE.

(2)设AC∩BD=G,连接FG,
易知G 是AC的中点,
∵BF⊥平面ACE,
则BF⊥CE.而BC=BE,
∴F是EC的中点.

∴AE∥平面BFD.

20.(12分)已知四边形ABCD为矩形 ,AD=4,AB=2,E、F分别是线段AB、BC的中点,PA⊥面ABCD.
(1)求证:PF⊥FD;
(2)设点G在PA上,且EG∥面PFD,试确定点G的位置.
解析:(1)连接AF,在矩形ABCD中,
∵AD=4,AB=2,点F是BC的中点,
∴∠AFB=∠DFC=45°,
∴∠AFD=90°,即AF⊥FD,
又∵PA⊥面ABCD,
∴PA⊥FD,
又∵AF∩PA=A,
∴FD⊥面PAF,
∵PF?面PAF,
∴PF⊥FD.
(2)过E作EH∥FD交AD于 H,
则EH∥面PFD,且AH=14AD.
过H作HG∥PD交PA于G.
则GH∥面PFD且AG=14PA,
∴面EHG∥面PFD,
则EG∥面PFD,
从而点G满足AG=14PA,
即G点的位置在PA上靠近A点的四等分点处.

21.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PD垂直于底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,DC∥AB,∠BAD=90°,且AB =2AD=2DC=2PD=4(单位:c),E为PA的中点.
(1)如图,若主视方向与AD平行.请作出该几何体的主视图并求出主视图的面积;
(2)证明:DE∥平面PBC;
(3)证明:DE⊥平面PAB.

解析:(1)主视图如右:
主视图面积S=12×4×2=4(c2).
(2)设PB的中点为F,连接EF、CF,EF∥AB,DC∥AB,

22.(12分)一个多面体的直观图,正视图,侧视图如下所示,其中正视图、侧视图为边长为a的正方形.

(1)请在指定的框内画出多面体的俯视图;
(2)若多面体底面对角线AC、BD交于点O,E为线段AA1的中点,求证:OE∥平面A1C1C;
(3)求该多面体的表面积.
解析:根据多面体的直观图,正视图、侧视图,得到俯视图如下

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