逍遥右脑 2013-01-22 09:14
2012年全国高中数学联合竞赛四川初赛试题
一、单项选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
1、设集合 ， ，则 =（ ）
A、 B、 C、 D 、
2、正方体 中 与截面 所成的角是（ ）
A、 B、 C、 D、
3、已知 ， ，则“ ”是“ 在 上恒成立”的（ ）
A、充分但不必要条件 B、必要但不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
4、设正三角形 的面积为 ，作 的内切圆，再作内切圆的内接正三角形，设为 ，面积为 ，如此下去作一系列的正三角形 ，其面积相应为 ，设 , ，则 =（ ）
A 、 B 、 C、 D 、2
5、设抛物线 的焦点为 ，顶点为 ， 是抛物线上的动点，则 的最大值为（ ）
A 、 B 、 C、 D 、
6、设倒圆锥形容器的轴截面为一个等边三角形，在此容器内注入水，并放入半径为 的一个实心球，此时球与容器壁及水面恰好都相切，则取出球后水面高为（ ）
A、 B、 C、 D、
二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
7、如图，正方形 的边长为3， 为 的中点， 与 相交于 ，则 的值是
8、 的展开式中的常数项是 ．（用具体数字作答）
9、设等比数列 的前 项和为 ，满足 ，则 的值为 ．
10、不超过2012的只有三个正因数的正整数个数为 ．
11、已知锐角 满足 ，则 的最大值是 ．
12、从1,2,3,4,5组成的数字不重复的五位数中，任取一个五位数 ，满足条件“ ”的概率是 ．
三、解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分）
13、设函数 ，
（I）求函数 在 上的最大值与最小值；
（II）若实数 使得 对任意 恒成立，求 的值．
14、已知 ，满足 ，
（I）求 的最小值；
（II）当 取最小值时，求 的最大值．
15、直线 与双曲线 的左支交于 、 两点，直线 经过点 和
的中点，求直线 在 轴的截距 的取值范围．
16、设函数 在 上的最大值为 （ ）．
（I）求数列 的通项公式；
（II）求证：对任何正整数 ，都有 成立；
（III）设数列 的前 项和为 ，求证：对任意正整数 ，都有 成立．
参考解答
一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
1、C 2、A 3、A 4、B 5、B 6、D
二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
7、 8、 9、0 10、14 11、 12、
三、解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分）
13、解：（I）由条件知 ， （5分）
由 知， ，于是
所以 时， 有最小值 ；
当 时， 有最大值 ． （10分）
（II）由条件可知
对任意的 恒成立，
∴
∴
∴ , （15分）
由 知 或 。
若 时，则由 知 ，这与 矛盾！
若 ，则 （舍去）， ，
解得 ，所以， ． （20分）
14、解：（I）因为 （5分）
，等号成立的条件是 ，
当 时， 可取最小值2． （10分）
（II）当 取最小值时， ，从而 ，
即 ，令 ，则 （15分）
从而 或者 （舍去）
故 在 单减，
所以在 时， 有最大值 ． （20分）
15、解：将直线 与双曲线 方程联立得
化简得 ① （5分）
由题设知方程①有两负根，因此 ，解得 ．（10分）
设 ，则有 ，
故 的中点为 ，
所以直线 方程为 ，其在 轴的截距 ，（15分）
当 时， ，其取值范围是
所以 的取值范围是 ． （20分）