逍遥右脑 2013-01-18 17:29
高考数学备考之 放缩技巧
证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：
一、裂项放缩
例1.(1)求 的值; (2)求证: .
解析:(1)因为 ,所以
(2)因为 ,所以
技巧积累:(1) (2)
(3)
例2.(1)求证:
(2)求证: (3)求证:
(4) 求证：
解析:(1)因为 ,所以
(2)
(3)先运用分式放缩法证明出 ,再结合 进行裂项,最后就可以得到答案
(4)首先 ,所以容易经过裂项得到
再证 而由均值不等式知道这是显然成立的，
所以
例3.求证:
解析: 一方面: 因为 ,所以
另一方面:
当 时, ,当 时, ,
当 时, ,
所以综上有
例4.(2008年全国一卷)设函数 .数列 满足 . .
设 ，整数 .证明: .
解析: 由数学归纳法可以证明 是递增数列,
故 若存在正整数 , 使 , 则 ,
若 ,则由 知 , ,
因为 ,于是
例5.已知 ,求证: .
解析:首先可以证明:
所以要证
只要证:
故只要证 ,
即等价于 ,
即等价于 而正是成立的,所以原命题成立.
例6.已知 , ,求证: .
解析:
所以
从而
例7.已知 , ,求证:
证明: ,
因为 ,所以
所以
二、函数放缩
例8.求证： .
解析:先构造函数有 ,从而
cause
所以
例9.求证:(1)
解析:构造函数 ,得到 ,再进行裂项 ,求和后可以得到答案
函数构造形式: ,
例10.求证:
解析:提示:
函数构造形式:
当然本题的证明还可以运用积分放缩
如图,取函数 ,
首先: ,从而,
取 有, ,
所以有 , ,…, , ,相加后可以得到:
另一方面 ,从而有
取 有, ,
所以有 ,所以综上有
例11.求证: 和 .解析:构造函数后即可证明
例12.求证: 解析: ,叠加之后就可以得到答案
函数构造形式: (加强命题)
例13.证明:
解析:构造函数 ,求导,可以得到:
,令 有 ,令 有 ,
所以 ,所以 ,令 有,
所以 ,所以
例14. 已知 证明 .
解析: ,
然后两边取自然对数,可以得到
然后运用 和裂项可以得到答案)
放缩思路：
。于是 ，
即
注：题目所给条 （ ）为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当然，本题还可用结论 放缩：
，
即
例16.(2008年福州市质检)已知函数 若
解析:设函数
∴函数 ）上单调递增，在 上单调递减.∴ 的最小值为 ，即总有
而
即
令 则
例15.(2008年厦门市质检) 已知函数 是在 上处处可导的函数,若 在 上恒成立.
(I)求证：函数 上是增函数； (II)当 ；
(III)已知不等式 时恒成立，
求证：
解析:(I) ,所以函数 上是增函数
(II)因为 上是增函数,所以
两式相加后可以得到
(3)
……
相加后可以得到:
所以
令 ,有
所以
(方法二)
所以
又 ,所以
三、分式放缩
姐妹不等式: 和
记忆口诀”小者小,大者大”
解释:看b,若b小,则不等号是小于号,反之.
例19. 姐妹不等式: 和
也可以表示成为
和
解析: 利用假分数的一个性质 可得
即
例20.证明:
解析: 运用两次次分式放缩:
(加1)
(加2)
相乘,可以得到:
所以有
四、分类放缩
例21.求证:
解析:
例22.(2004年全国高中数学联赛加试改编) 在平面直角坐标系 中, 轴正半轴上的点列 与曲线 （ ≥0）上的点列 满足 ，直线 在x轴上的截距为 .点 的横坐标为 , .
(1)证明 > >4， ; (2)证明有 ，使得对 都有 < .
解析:(1) 依题设有： ，由 得：
,又直线 在 轴上的截距为 满足
显然，对于 ，有
(2)证明：设 ，则
设 ，则当 时，
。
所以，取 ，对 都有：
故有 < 成立。
例23.(2007年泉州市高三质检) 已知函数 ，若 的定义域为[－1，0]，值域也为[－1，0].若数列 满足 ，记数列 的前 项和为 ，问是否存在正常数A，使得对于任意正整数 都有 ？并证明你的结论。
解析:首先求出 ,∵
∴ ,∵ , ,…
,故当 时, ,
因此，对任何常数A，设 是不小于A的最小正整数，
则当 时,必有 .
故不存在常数A使 对所有 的正整数恒成立.
例24.(2008年中学教学参考)设不等式组 表示的平面区域为 ,
设 内整数坐标点的个数为 .设 , 当 时,求证: .
解析:容易得到 ,所以,要证 只要证 ,因为 ,所以原命题得证
五、迭代放缩
例25. 已知 ,求证:当 时,
解析:通过迭代的方法得到 ,然后相加就可以得到结论
例26. 设 ,求证:对任意的正整数k,若k≥n恒有:Sn+k－Sn<1n
解析:
又 所以
六、借助数列递推关系
例27.求证:
解析: 设 则
,从而
,相加后就可以得到
所以
例28. 求证:
解析: 设 则
,从而
,相加后就可以得到
例29. 若 ,求证:
解析:
所以就有
七、分类讨论
例30.已知数列 的前 项和 满足 证明：对任意的整数 ，有
解析:容易得到 ,
由于通项中含有 ，很难直接放缩，考虑分项讨论：
当 且 为奇数时
（减项放缩），于是
①当 且 为偶数时
②当 且 为奇数时 （添项放缩）由①知 由①②得证。
八、线性规划型放缩
例31. 设函数 .若对一切 ， ，求 的最大值。
解析:由 知 即
由此再由 的单调性可以知道 的最小值为 ，最大值为
因此对一切 ， 的充要条是， 即 ， 满足约束条 ，
由线性规划得， 的最大值为5．
九、均值不等式放缩
例32.设 求证
解析: 此数列的通项为
， ，
即
注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式 ，若放成 则得 ，就放过“度”了！
②根据所证不等式的结构特征选取所需要的重要不等式，这里
其中， 等的各式及其变式公式均可供选用。
例33.已知函数 ，若 ，且 在[0，1]上的最小值为 ，求证：
解析:
例34.已知 为正数，且 ，试证：对每一个 ， .
解析: 由 得 ，又 ，故 ，而 ，
令 ，则 = ，因为 ，倒序相加得 = ，
而 ，
则 = ，所以 ，即对每一个 ， .
例35.求证
解析: 不等式左 = ，
原结论成立.
例36.已知 ,求证:
解析:
经过倒序相乘,就可以得到
例37.已知 ,求证:
解析:
其中: ,因为
所以
从而 ,所以 .
例38.若 ,求证: .
解析:
因为当 时, ,所以 ,所以 ,当且仅当 时取到等号.
所以
所以 所以
例39.已知 ,求证: .
解析: .
例40.已知函数f(x)=x2－(－1)k•2lnx(k∈N*).k是奇数, n∈N*时,
求证: [f’(x)]n－2n－1•f’(xn)≥2n(2n－2).
解析: 由已知得 ，
(1)当n=1时，左式= 右式=0.∴不等式成立.
(2) , 左式=
令
由倒序相加法得：
，
所以
所以 综上，当k是奇数， 时，命题成立
例41. （2007年东北三校）已知函数
（1）求函数 的最小值，并求最小值小于0时的 取值范围；
（2）令 求证：
★例42. (2008年江西高考试题)已知函数 , .对任意正数 ,证明： ．
解析:对任意给定的 , ,由 ,
若令 ，则 ① ,而 ②
（一）、先证 ；因为 ， ， ，
又由 ，得 ．
所以
．
（二）、再证 ；由①、②式中关于 的对称性，不妨设 ．则
（?）、当 ，则 ，所以 ，因为 ，
，此时 ．
（?）、当 ③，由①得 , ， ，
因为 所以 ④
同理得 ⑤ ，于是 ⑥
今证明 ⑦, 因为 ，
只要证 ，即 ，也即 ，据③，此为显然．
因此⑦得证．故由⑥得 ．
综上所述，对任何正数 ，皆有 ．
例43.求证:
解析:一方面:
(法二)
另一方面:
十、二项放缩
, ,
例44. 已知 证明
解析:
，
即
45.设 ，求证：数列 单调递增且
解析: 引入一个结论：若 则 （证略）
整理上式得 （ ）
以 代入（ ）式得
即 单调递增。
以 代入（ ）式得
此式对一切正整数 都成立，即对一切偶数有 ，又因为数列 单调递增，所以对一切正整数 有 。
注：①上述不等式可加强为 简证如下：
利用二项展开式进行部分放缩：
只取前两项有 对通项作如下放缩：
故有
②上述数列 的极限存在，为无理数 ；同时是下述试题的背景：已知 是正整数，且 （1）证明 ；（2）证明 （01年全国卷理科第20题）
简析 对第（2）问：用 代替 得数列 是递减数列；借鉴此结论可有如下简捷证法：数列 递减，且 故 即 。
当然，本题每小题的证明方法都有10多种,如使用上述例5所提供的假分数性质、贝努力不等式、甚至构造“分房问题”概率模型、构造函数等都可以给出非常漂亮的解决！详见[1]。
例46.已知a+b=1,a>0,b>0,求证：
解析: 因为a+b=1,a>0,b>0,可认为 成等差数列，设 ，
从而
例47.设 ，求证 .
解析: 观察 的结构，注意到 ，展开得
，即 ，得证.
例48.求证: . 解析:参见上面的方法,希望读者自己尝试!)
例42.(2008年北京海淀5月练习) 已知函数 ，满足：
①对任意 ，都有 ；
②对任意 都有 .
（I）试证明： 为 上的单调增函数；
（II）求 ；
（III）令 ，试证明：.
解析:本题的亮点很多,是一道考查能力的好题.
(1)运用抽象函数的性质判断单调性:
因为 ,所以可以得到 ,
也就是 ,不妨设 ,所以,可以得到 ,也就是说 为 上的单调增函数.
(2)此问的难度较大,要完全解决出需要一定的能力!
首先我们发现条不是很足,,尝试探索看看按(1)中的不等式可以不可以得到什么结论,一发现就有思路了!
由(1)可知 ,令 ,则可以得到
,又 ,所以由不等式可以得到 ,又
,所以可以得到 ①
接下要运用迭代的思想:
因为 ,所以 , , ②
, , ,
在此比较有技巧的方法就是:
,所以可以判断 ③
当然,在这里可能不容易一下子发现这个结论,所以还可以列项的方法,把所有项数尽可能地列出,然后就可以得到结论.
所以,综合①②③有 =
(3)在解决 的通项公式时也会遇到困难.
,所以数列 的方程为 ,从而 ,
一方面 ,另一方面
所以 ,所以,综上有
.
例49. 已知函数fx的定义域为[0,1]，且满足下列条：
① 对于任意 [0,1]，总有 ，且 ；② 若 则有
（Ⅰ）求f0的值；（Ⅱ）求证：fx≤4；
（Ⅲ）当 时，试证明： .
解析: （Ⅰ）解：令 ，由①对于任意 [0,1]，总有 ， ∴
又由②得 即 ∴
（Ⅱ）解：任取 且设 则
因为 ，所以 ，即 ∴ .
∴当 [0,1]时， .
（Ⅲ）证明：先用数学归纳法证明：
（1）当n=1时， ，不等式成立；
（2）假设当n=k时，
由
得
即当n=k+1时，不等式成立
由（1）、（2）可知，不等式 对一切正整数都成立.
于是，当 时， ，
而 [0,1]， 单调递增 ∴ 所以，
例50. 已知： 求证：
解析:构造对偶式：令
则 ＝
又 （
十一、积分放缩
利用定积分的保号性比大小
保号性是指，定义在 上的可积函数 ，则 .
例51.求证： .
解析: ，∵ ，
时， ， ， ∴ ， .
利用定积分估计和式的上下界
定积分产生和应用的一个主要背景是计算曲边梯形的面积，现在用它估计小矩形的面积和.
例52. 求证： ， .
解析: 考虑函数 在区间 上的定积分.
如图，显然 -①
对 求和，
.
例53. 已知 .求证： .
解析:考虑函数 在区间 上的定积分.
∵ -②
∴ .
例54. （2003年全国高考江苏卷）设 ，如图，已知直线 及曲线 ： ， 上的点 的横坐标为 （ ）.从 上的点 作直线平行于 轴，交直线 于点 ，再从点 作直线平行于 轴，交曲线 于点 . 的横坐标构成数列 .
（Ⅰ）试求 与 的关系，并求 的通项公式；
（Ⅱ）当 时，证明 ；
（Ⅲ）当 时，证明 .
解析: （过程略）.
证明（II）：由 知 ，∵ ，∴ .
∵当 时， ，
∴ .
证明（Ⅲ）：由 知 .
∴ 恰表示阴影部分面积，
显然 ④
∴ .
奇巧积累: 将定积分构建的不等式略加改造即得“初等”证明，如：
① ；
② ；
③ ；
④ .
十二、部分放缩(尾式放缩)
例55.求证:
解析:
例56. 设 求证：
解析:
又 （只将其中一个 变成 ，进行部分放缩）， ，
于是
例57.设数列 满足 ，当 时
证明对所有 有 ；
解析: 用数学归纳法：当 时显然成立，假设当 时成立即 ，则当 时
，成立。
利用上述部分放缩的结论 放缩通项，可得
注：上述证明 用到部分放缩，当然根据不等式的性质也可以整体放缩： ；证明 就直接使用了部分放缩的结论
十三、三角不等式的放缩
例58.求证: .
解析:(i)当 时,
(ii)当 时,构造单位圆,如图所示:
因为三角形AOB的面积小于扇形OAB的面积
所以可以得到
当 时
所以当 时 有
(iii)当 时, ,由(ii)可知:
所以综上有
十四、使用加强命题法证明不等式
(i)同侧加强
对所证不等式的同一方向(可以是左侧,也可以是右侧)进行加强.如要证明 ,只要证明 ,其中 通过寻找分析,归纳完成.
例59.求证:对一切 ,都有 .
解析:
从而
当然本题还可以使用其他方法,如:
所以 .
(ii)异侧加强(数学归纳法)
(iii)双向加强
有些不等式,往往是某个一般性命题的特殊情况,这时,不妨”返璞归真”,通过双向加强还原其本面目,从而顺利解决原不等式.其基本原理为:
欲证明 ,只要证明: .
例60.已知数列 满足: ,求证:
解析: ,从而 ,所以有
,所以
又 ,所以 ,所以有
所以
所以综上有
引申:已知数列 满足: ,求证: .
解析:由上可知 ,又 ,所以
从而
又当 时, ,所以综上有 .
同题引申: (2008年浙江高考试题)已知数列 , , , .
记 , .求证:当 时.
(1) ; (2) ; ★(3) .
解析:(1) ,猜想 ,下面用数学归纳法证明:
(i)当 时, ,结论成立;
(ii)假设当 时, ,则 时,
从而 ,所以
所以综上有 ,故
(2)因为 则 , ,…, ,相加后可以得到: ,所以
,所以
(3)因为 ,从而 ,有 ,所以有
,从而
,所以
,所以
所以综上有 .
例61.(2008年陕西省高考试题)已知数列 的首项 , , ．
(1)证明:对任意的 , , ;
(2)证明: .
解析:(1)依题,容易得到 ,要证 , , ,
即证
即证 ,设 所以即证明
从而 ,即 ,这是显然成立的.
所以综上有对任意的 , ,
(法二)
, 原不等式成立．
(2)由(1)知，对任意的 ，有
．
取 ，
则 ．
原不等式成立．
十四、经典题目方法探究
探究1.(2008年福建省高考)已知函数 .若 在区间 上的最小值为 ,
令 .求证: .
证明:首先:可以得到 .先证明
(方法一) 所以
(方法二)因为 ,相乘得:
,从而 .
(方法三)设A= ,B= ,因为A<B,所以A2<AB,
所以 , 从而 .
下面介绍几种方法证明
(方法一)因为 ,所以 ,所以有
(方法二) ,因为 ,所以
令 ,可以得到 ,所以有
(方法三)设 所以 ,
从而 ,从而
又 ,所以
(方法四)运用数学归纳法证明:
(i)当 时,左边= ,右边= 显然不等式成立;
(ii)假设 时, ,则 时, ,
所以要证明 ,只要证明 ,这是成立的.
这就是说当 时,不等式也成立,所以,综上有
探究2.(2008年全国二卷)设函数 .如果对任何 ，都有 ，求 的取值范围．
解析:因为 ,所以
设 ,则 ,
因为 ,所以
(i)当 时, 恒成立,即 ,所以当 时, 恒成立.
(ii)当 时, ,因此当 时,不符合题意.
(iii)当 时,令 ，则 故当 时, .
因此 在 上单调增加.故当 时, ,
即 .于是，当 时，
所以综上有 的取值范围是
变式：若 ,其中
且 , ,求证:
.
证明：容易得到
由上面那个题目知道
就可以知道
★同型衍变:(2006年全国一卷)已知函数 .若对任意 x∈(0,1) 恒有 f (x) >1, 求 a的取值范围.
解析:函数f (x)的定义域为(-∞, 1)∪(1, +∞), 导数为 .
(?) 当0< a≤2时, f (x) 在区间 (-∞, 1) 为增函数, 故对于任意x∈(0, 1) 恒有 f (x) > f (0) =1, 因而这时a满足要求.
(?) 当a>2时, f (x) 在区间 (- , )为减函数, 故在区间(0, ) 内任取一点, 比如取 , 就有 x0∈(0, 1) 且 f (x0) < f (0) =1, 因而这时a不满足要求.
(?) 当a≤0时, 对于任意x∈(0, 1) 恒有
≥ , 这时a满足要求.
综上可知, 所求 a的取值范围为 a≤2.