上海市十三校2015届高三3月第二次联考数学理试题

逍遥右脑  2016-02-20 17:18

试卷说明:

2015年上海市高三年级十三校第二次联考数学(理科)试卷考试时间:120分钟 满分:150分一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题,每题4分.方程的解是 .已知函数,则 .若实数满足,则的最小值为 .设(为虚数单位),则 则的值为 . 除以5的余数是 .在棱长为的正方体中,点和分别是矩形和的中心,则过点、、的平面截正方体的截面面积为______.等差数列的前项和为,则 .某公司推出了下表所示的QQ在线等级制度,设等级为级需要的天数为,等级等级图标需要天数等级等级图标需要天数157772128963211219243216320545321152660482496等级为级需要的天数10.若关于的方程在区间上有两个不同的实数解,则的取值范围为 .11.已知直线交极轴于点,过极点作的垂线,垂足为,现将线段绕极点旋转,则在旋转过程中线段所扫过的面积为________.12.给定平面上四点满足,则面积的最大值为 .13. 对于非空实数集,定义.设非空实数集.现给出以下命题:(1)对于任意给定符合题设条件的集合必有(2)对于任意给定符合题设条件的集合必有; (3)对于任意给定符合题设条件的集合必有;(4)对于任意给定符合题设条件的集合必存在常数,使得对任意的,恒有.以上命题正确的是 .14. 已知当时,有,根据以上信息,若对任意,都有则 .二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题5分.15.集合,若“”是“”的充分条件,则的取值范围是(  )(A)   (B)   (C)     (D)16.函数则函数是( )(A)奇函数但不是偶函数 (B)偶函数但不是奇函数 (C)既是奇函数又是偶函数 (D)既不是奇函数又不是偶函数17.若,且.则下列结论正确的是( ) (A)    (B)    (C)  (D)18.设、是定点,且均不在平面上,动点在平面上,且,则点的轨迹为( )(A)圆或椭圆 (B)抛物线或双曲线 (C)椭圆或双曲线 (D)以上均有可能三、解答题(本大题共5小题,满分74分)19.(本题满分12分)如图,设是一个高为的四棱锥,底面是边长为的正方形,顶点在底面上的射影是正方形的中心.是棱的中点.试求直线与平面所成角的大小.20.(本题满分14分,第一小题满分5分,第二小题满分9分)对于函数,若在定义域存在实数,满足,则称为“局部奇函数”.(1)已知二次函数,试判断是否为“局部奇函数”?并说明理由;(2)设是定义在上的“局部奇函数”,求实数的取值范围. 21.(本题满分14分,第一小题满分4分,第二小题满分10分) 某超市在节日期间进行有奖促销,凡在该超市购物满400元的顾客,将获得一次摸奖机会,规则如下:奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球,1个黄球,1个白球和1个黑球...(2)记为1名顾客摸奖获得的奖金数额,求随机变量的分布律和数学期望..(1) 若圆心在抛物线上的动圆,大小随位置而变化,但总是与直线相切,求所有的圆都经过的定点坐标;(2) 抛物线的焦点为,若过点的直线与抛物线相交于两点,若,求直线的斜率;(3)若过正半轴上点的直线与该抛物线交于两点,为抛物线上异于的任意一点,记连线的斜率为试求满足成等差数列的充要条件.23. (本题满分18分,第一小题满分4分,第二小题满分7分,第三小题满分7分)设等差数列的公差为,且.若设是从开始的前项数列的和,即,,如此下去,其中数列是从第开始到第)项为止的数列的和,即. (1)若数列,试找出一组满足条件的,使得: ; (2) 试证明对于数列,一定可通过适当的划分,使所得的数列中的各数都为平方数; (3)若等差数列中.试探索该数列中是否存在无穷整数数列,使得为等比数列,如存在,就求出数列;如不存在,则说明理由.2015年高三年级十三校第二次联考数学试卷答案(理科)考试时间:120分钟 满分:150分一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题,每题4分.方程的解是 .已知函数,则 . 若实数满足,则的最小值为 4 .设(为虚数单位),则 则的值为 0 . 除以5的余数是 3 .(理)在棱长为的正方体中,点和分别是矩形和的中心,则过点、、的平面截正方体的截面面积为______.某公司推出了下表所示的QQ在线等级制度,设等级为级需要的天数为,等级等级图标需要天数等级等级图标需要天数157772128963211219243216320545321152660482496等级为级需要的天数10.若关于的方程在区间上有两个不同的实数解,则的取值范围为 11.(理)已知直线交极轴于点,过极点作的垂线,垂足为,现将线段绕极点旋转,则在旋转过程中线段所扫过的面积为________.12.给定平面上四点满足,则面积的最大值为 .13.(理) 对于非空实数集,定义。设非空实数集。现给出以下命题:(1)对于任意给定符合题设条件的集合必有(2)对于任意给定符合题设条件的集合必有; (3)对于任意给定符合题设条件的集合必有;(4)对于任意给定符合题设条件的集合必存在常数,使得对任意的,恒有.以上命题正确的是 (1)(4) .14.(理)已知当时,有,根据以上信息,若对任意,都有则 .二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题5分.15.集合,若“”是“”的充分条件,则的取值范围是( B )(A)   (B)   (C)     (D)16.函数则函数是( A)(A)奇函数但不是偶函数 (B)偶函数但不是奇函数 (C)既是奇函数又是偶函数 (D)既不是奇函数又不是偶函数17.若,且.则下列结论正确的是( D ) (A)    (B)    (C)  (D)18.(理)设、是定点,且均不在平面上,动点在平面上,且,则点的轨迹为( D )(A)圆或椭圆 (B)抛物线或双曲线 (C)椭圆或双曲线 (D)以上均有可能三、解答题(本大题共5小题,满分74分)19.(理)(本题满分12分) 如图,设是一个高为的四棱锥,底面是边长为的正方形,顶点在底面上的射影是正方形的中心.是棱的中点。试求直线与平面所成角的大小。解:(理)法1:设与平面所成角为。因为,(2分)所以.所以.(4分)。所以.(6分)因为(8分)所以,(10分)因此(11分).则(12分)解法2:以为坐标原点,为轴,为轴,为轴建立空间坐标系。则(4分)所以(6分)设是平面的一个法向量,易求得(8分)设为与平面所成的角,因为(10分)所以:(11分)(12分) 20.(本题满分14分,第一小题满分5分,第二小题满分9分)对于函数,若在定义域存在实数,满足,则称为“局部奇函数”.(1)已知二次函数,试判断是否为“局部奇函数”?并说明理由;(2)设是定义在上的“局部奇函数”,求实数的取值范围。解:(1)为“局部奇函数”等价于关于的方程有解.即(3分)有解为“局部奇函数”. (5分) (2)当时, 可转化为(8分)因为的定义域为,所以方程在上有解,令,(9分)则因为在上递减,在上递增, (11分)(12分)即(14分)21.(理) (本题满分14分,第一小题满分4分,第二小题满分10分) 某超市在节日期间进行有奖促销,凡在该超市购物满400元的顾客,将获得一次摸奖机会,规则如下:奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球,1个黄球,1个白球和1个黑球...(2)记为1名顾客摸奖获得的奖金数额,求随机变量的分布律和数学期望., 则 ,(4分)故1名顾客摸球2次停止摸奖的概率.(2)解:随机变量的所有取值为.,,,(9分)所以,随机变量的分布列为: 10203040 (12分). 22.(本题满分16分,第一小题满分4分,第二小题满分5分,第三小题满分7分)已知抛物线.(1) 若圆心在抛物线上的动圆,大小随位置而变化,但总是与直线相切,求所有的圆都经过的定点坐标;(2) 抛物线的焦点为,若过点的直线与抛物线相交于两点,若,求直线的斜率;(3) (理)若过正半轴上点的直线与该抛物线交于两点,为抛物线上异于的任意一点,记连线的斜率为,试求满足成等差数列的充要条件。(3) (理)设直线的方程为,代入,得:,设,则(11分)若,即有,即:由此得:,,(15分)所以当直线的方程为时,也就是成立的充要条件是直线与轴相垂直。 (16分)23.(理)(本题满分18分,第一小题满分4分,第二小题满分7分,第三小题满分7分) 设等差数列的公差为,且.若设是从开始的前项数列的和,即,,如此下去,其中数列是从第开始到第)项为止的数列的和,即. (1)若数列,试找出一组满足条件的,使得: ; (2) 试证明对于数列,一定可通过适当的划分,使所得的数列中的各数都为平方数; (3)若等差数列中.试探索该数列中是否存在无穷整数数列,使得为等比数列,如存在,就求出数列;如不存在,则说明理由.解:(1)则;(4分) (2)记即,又由,,所以第二段可取3个数,;再由,即,因此第三段可取9个数,即,依次下去, 一般地:, (6分)所以,(8分)(9分)则.由此得证.(11分)(3)不存在.令,则 假设存在符合题意的等差数列, 则的公比必为大于的整数,(,因此,即此时,注意到, (14分)要使成立,则必为完全平方数, (16分)但,矛盾.因此不存在符合题意的等差数列. (18分)!第1页 共11页学优高考网!!上海市十三校2015届高三3月第二次联考数学理试题
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