初中数学三角形中线公式推理过程

　　【—三角形中线公式】三角形中线在证明的时候，最常证明的题目是组成的三角形面积等于这个三角形面积的3/4。

　　三角形中线证明

　　给出一个△ABC.中线为CD,BF,AE.(如上图)

　　解：连接DE并倍长到P.连接BP,FP,EF.

　　在△DEC和△PEB中

　　∵DE=EP,∠BEP=∠DEC,BE=EC.

　　∴△DEC≌△PEB(SAS).

　　∴CD=BP. S△DEC=S△PEB.

　　又∵DE平行且等于1/2AC,DE=EP.

　　∴EP平行且等于1/2AC.

　　即EP平行且等于AF.

　　∴四边形AEPF为平行四边形(对边平行且相等的四边形为平行四边形)

　　∴AE=FP. S△EFP=S△AEF.

　　这样△ABC的三条中线CD,BF,AE就构成了△BFP.

　　∵BF为中线，平分△ABC面积.

　　∴S△BAF=S△BFC.

　　又∵EF为△BFC中线，平分△BFC面积.

　　∴S△BEF=S△EFC=1/4 S△ABC.

　　又∵CD为△ABC中线，平分△ABC面积.

　　∴S△ADC=S△BDC.

　　又∵DE平分△BDC面积.

　　∴S△BDE=S△DEC=1/4 S△ABC.

　　∴S△BEP=S△DEC=1/4 S△ABC.

　　∵AE为△ABC中线，平分△ABC面积.

　　∴S△BAE=S△AEC.

　　又∵EF平分△AEC.

　　∴S△AEF=S△EFC.

　　∴S△AFE=S△EFP=1/4 S△ABC

　　∵S△BFP=S△BEF+S△BEP+S△EFP

　　=1/4 S△ABC+1/4 S△ABC+1/4 S△ABC

　　=3/4 S△ABC

　　需要提示大家的是：三角形的三条中线交于一点，该点叫做三角形的重心。

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