高一数学重要知识点总结之指数函数、函数奇偶性

指数函数的一般形式为，从上面我们对于幂函数的讨论就可以知道，要想使得x能够取整个实数集合为定义域，则只有使得

　　

　　如图所示为a的不同大小影响函数图形的情况。

　　

　　可以看到：

　　

　　（1）指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a大于0，对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑。

　　

　　（2）指数函数的值域为大于0的实数集合。

　　

　　（3）函数图形都是下凹的。

　　

　　（4）a大于1，则指数函数单调递增；a小于1大于0，则为单调递减的。

　　

　　（5）可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程中（当然不能等于0），函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。

　　

　　（6）函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴，永不相交。

　　

　　（7）函数总是通过（0，1）这点。

　　

　　（8）显然指数函数无界。

　　

　　奇偶性

　　

　　注图：（1）为奇函数（2）为偶函数

　　

　　1．定义

　　

　　一般地，对于函数f(x)

　　

　　（1）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。

　　

　　（2）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。

　　

　　（3）如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)同时成立，那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。

　　

　　（4）如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)都不能成立，那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。

　　

　　说明：①奇、偶性是函数的整体性质，对整个定义域而言

　　

　　②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不是奇（或偶）函数。

　　

　　（分析：判断函数的奇偶性，首先是检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x)比较得出结论）

　　

　　③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义

　　

　　2．奇偶函数图像的特征：

　　

　　定理奇函数的图像关于原点成中心对称图表，偶函数的图象关于y轴或轴对称图形。

　　

　　f(x)为奇函数《＝＝》f(x)的图像关于原点对称

　　

　　点（x，y）→（-x，-y）

　　

　　奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。

　　

　　偶函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减。

　　

　　3.奇偶函数运算

　　

　　(1).两个偶函数相加所得的和为偶函数.

　　

　　(2).两个奇函数相加所得的和为奇函数.

　　

　　(3).一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数.

　　

　　(4).两个偶函数相乘所得的积为偶函数.

　　

　　(5).两个奇函数相乘所得的积为偶函数.

　　

　　(6).一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数.
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