高中数学里的那些“积化和差”与“和差化积”

　　作者：学夫子
　　数学史上，人们创造了乘除法，却发现乘除法在带来便利的同时，其本身的运算却非常复杂。于是人们就开始寻找将乘除法运算转化为加减法运算的方法，由于这样的需要，人们发明了对数，发现了三角函数里的各种公式。在中学数学里也有不少这样的思想。
　　一：韦达定理

     
　　数学史上，人们创造了乘除法，却发现乘除法在带来便利的同时，其本身的运算却非常复杂。于是人们就开始寻找将乘除法运算转化为加减法运算的方法，由于这样的需要，人们发明了对数，发现了三角函数里的各种公式。在中学数学里也有不少这样的思想。
　　二：指数对数运算
　　要说高中数学里的纯粹计算，指数对数自然错不过。形如已知x+x^-1 =3“求x²+x^-2“的题目，相信各位见得不少，其实归根到底，这也是“两数和差，乘积，平方和”等之间的转化的基本格式??已知其中两个，求另外一个，偶尔再来个立方和之类，但本质上还是这三者之间的转化。
　　三：三角函数
　　三角函数里的一些公式本就具有和与积的特征，且看

     
　　题目很简单，却透露出对公式的全方位理解的重要性。不仅是公式的直接应用，三角函数里还有专门为此而设计的题目，近年颇受欢迎，比如：

     
　　很容易看出来，这也是“知道a²+b²和a+b，求ab”的题型，只是换上了三角函数的外衣。
　　四：解三角形

     
　　如果当初你对这道题“为什么要那样做”感到疑惑，现在应该能够理解。因为在这个三角形中，两边之和为一常数，而面积又涉及到两边乘积，自然就需要抬出余弦定理。
　　五：解析几何
　　韦达定理在高中数学里的应用，要数解析几何最为频繁：解析几何里的距离公式是一平方和的形式，这本就是“和与积”转化的桥梁‘；椭圆双曲线的定义中，涉及到两边之和（或差）是一常数，结合上解三角形的内容，便成为考试的一大热点；中点坐标公式，斜率公式等无一不涉及到两数的和差，这些使得韦达定理等思想成为了解这一类题的主流方法。
　　六：不等式

     
　　前面的内容全都是等式方面的转化，不等式里的转化自然也少不了这一点，看看那一大串所谓的均值不等式吧
　　解：利用均值不等式将ab化成a+b，最后解a+b的不等式即可。（来源：学夫子数学博客）

版权声明：本文内容由互联网用户自发贡献，该文观点仅代表作者本人。本站仅提供信息存储空间服务，不拥有所有权，不承担相关法律责任。如发现本站有涉嫌抄袭侵权/违法违规的内容，请发送邮件至 lxy@jiyifa.cn 举报，一经查实，本站将立刻删除。