2014年高考数学复习:数列专题热点指导

逍遥右脑  2015-07-22 12:36

  天津市第四十二中学 张鼎言

  假设ak>α,由上面的递推式,用比较法:

  ak+1-α=--α

  =-

  =-

  而α是方程x2+x-1=0的根,

  ∴ak+1-α=->0

  ∴ak+1>α

  由上数学归纳法可证an>α

  分析(3)由(2)an>α,又an>α>β

  ∴an>β

  bn=ln-有意义,同理an-β=-(n≥2)

  bn=ln-

  =2ln-=2bn-1

  b1=ln-=2ln-

  =2ln-

  =4ln-

  Sn=-

  =b1g(2n-1)

  =(2n+2-4)gln-

  注:本题的关键是第(2)问,通过an+1-α,不等式比较法,建立了递推关系。

  7. 数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=-,Sn=n2an-n(n-1),n=1,2,…

  (Ⅰ)写出Sn与Sn-1的递推关系式(n2),并求Sn关于n的表达式;

  (Ⅱ)设fn(x)=-xn+1,bn=fn1(p)(p∈R),求数列{bn}的前n项和Tn。

  解(Ⅰ)由已知Sn=n2(Sn-Sn-1)-n(n-1),(n2)。

  (n2-1)Sn=n2Sn-1+n(n-1)

  两边同除以n(n-1),

  -Sn=-Sn-1+1

  设cn=-Sn,

  cn=cn-1+1,

  由S1=a1=-,c1=1

  ∴cn=1+(n-1)=n

  Sn=-

  (Ⅱ)fn(x)=-xn+1=-xn+1,f'n(x)=nxn

  bn=npn

  设Tn=b1+b2+…+bn=p+2p2+3p3+…+npn (1)

  当p=0时,Tn=0

  p=1时,

  Tn=1+2+…+n=-n(n+1)

  pTn=p2+2p3+…+npn+1 (2)

  (1)-(2) Tn-PTn=p+p2+…+pn-npn+1

  ∴Tn=---,(p≠0, p≠1)

  注:在递推关系中,设cn是关键,从Sn-1→Sn与-→-是同样的递推。在递推中着眼点是关于n的结构上的一致性。

  8. 设数列{an}的前n项和为Sn,且方程x2-anx-an=0有一根为Sn-1,n=1,2,3,…

  (Ⅰ)求a1,a2;

  (Ⅱ)求{an}的通项公式

  (Ⅰ)n=1,a1=S1,(a1-1)2-a1(a1-1)-a1=0,a1=-;

  n=2,S2=a1+a2=-+a2,

  S2-1=a2--,

  代入(a2--)2-a2(a2--)-a2=0,a2=-,S2=-+-=-;

  (Ⅱ)(Sn-1)2-an(Sn-1)-an=0,(Sn-1)(Sn-an-1)-an=0,

  (Sn-1)(Sn-1-1)-(Sn-Sn-1)=0,Sn?Sn-1-2Sn+1=0

  以上是把an转化成Sn,理由是把Sn转换成an走不通,实际上求出Sn,an也可求出。

  由S1=-,S2=-,进一步可求出S3=-,猜想Sn=-,用数字归纳法n=2时命题成立,假定Sk=-,

  由关于Sn的递推式,

  Sk+1=-=-=-,

  ∴Sn=-,an=-

  注:由递推公式求通项,从特殊到一般,先求出n=1,2,3,…归纳假设提出猜想,再去证明猜想。

  9. 已知函数f(x)=x-sinx,数列{an}满足:0

  证明(Ⅰ)0

  (Ⅱ)an+1<-an3

  证明(Ⅰ)由已知an+1=f(an),是以函数形式给出的递推关系,-,

  先用数学归纳法证明:0

  n=1由已知0

  考虑函数f(x)=x-sinx,f'(x)=1-cosx,

  ∵0

  ∴f'(x)>0,f(x)↑

  f(x)在[0,1]上连续

  ∴f(0)

  ∴0

  又∵an+1=f(an)=an-sinan,00,

  ∴an-an+1=sinan>0

  ∴0

  (Ⅱ)要证an+1<-an3,需证-an3-an+1>0,构造函数g(x)=-x3-x+sinx(0

  g'(x)=-x2-1+cosx

  =-x2-2sin2-

  =2[(-)2-(sin-)2]

  当0<-<-时,用单位圆易证->sin->0

  ∴g'(x)>0,g(x)↑0

  ∴g(an)>g(0),-an3-an+sinan>0

  -an3>an-sinan=an-1

  注:本题是以函数形式确定递推关系,把递推式中项与项的大小关系转化为函数的单调性。


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