【名师解析】辽宁省铁岭市第一高级中学2014届高三上学期期中考试

辽宁省铁岭市第一高级中学2013―2014学年高三上学期期中考试试题数 学 （理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.设集合则“”是“”的（ ）A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】试题分析：，，∵,选C.考点：1、分式不等式和绝对值不等式的解法；2、充分条件和必要条件.3.已知全集U=R，集合，，则=( )A. B. C. D. 4.已知函数满足，则的最小值（ ）A.2 B. C.3 D.45.若函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，则=（ ）A. 3 B. 2 C. D. 26.在中，角A,B,C所对的边，已知则C=( )A. B. C. 或 D.7.数列中，且数列是等差数列，则=( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：记，则是等差数列，且，∴，∴=.考点：等差数列及其性质.8.已知是两个互相垂直的单位向量，且，，则对任意的正实数t，的最小值（ ）A. 2 B. C. 4 D. 【答案】B【解析】10.各项都是正数的等比数列中，成等差数列，则的值为（ ）A. B. C. D. 或【答案】A【解析】试题分析：由已知得，∴，解得，所以=.考点：1、等差中项；2、等比数列的通项公式和性质.11.连续抛掷两次骰子，得到的点数分别为m,n，记向量的夹角为，则的概率是（ ）A. B. C. D. 12.已知函数，函数若存在，使得成立，则实数的取值范围（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：当时，；当时，， ，故函数在是单调递增，所以，综上所述：；又时，，则要使存在，使得成立，则值域交集非空，则且，所以.考点：1、导数在单调性上的应用；2、函数的值域；3、集合的运算.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知A（-1,1），B(1，2),C(-2，-1),D(3，4),则向量在方向上的投影为_________________.，所以=，∴=，=，所以=.考点：1、两角差的正弦公式；2、正弦和余弦的二倍角公式.15.已知实数x,y满足若取得最大值时的最优解（x,y）有无数个，则的值为______________.16.数列中，已知对任意, ，则___________________.【答案】【解析】试题分析：记数列的前项和为，则，当时，=；当时，，满足上式，故，所以数列是等比数列，且公比为3，数列也是等比数列，且公比为9，首先为4，所以.考点：等比数列的前n项和.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知函数（1）求的单调减区间；（2）在锐角三角形ABC中，A、B、C的对边且满足,求的取值范围.18.某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出七名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83，（1）求x和y的值；（2）计算甲班七名学生成绩的方差；（3）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率.参考公式：方差其中【答案】（1）x=5,y=3；（2）40；（3）【解析】试题分析：(1)根据平均数计算公式可求，中位数是指将一组数据按照从小到大或者从大到小的顺序排成一列，如果是奇数个数，中位数是最中间的数；如果是偶数个数，中位数是19.已知二次函数若对于任意,恒有成立，不等式的解集为A，(1)求集合A；(2)设集合，若集合B是集合A的子集，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】20.已知函数，（1）讨论函数的单调性； （2）证明：.【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增；（2）详见解析【解析】试题分析：（1）对于确定函数的单调性，可利用的解集和定义域求交集，得递增区间；的解集和定义域求交集，得递减区间，如果和的解集不易解出来，可采取间接判断导函数符号的办法，该题，无法解不等式和，可设21.已知函数，（1）求在处切线方程；（2）求证：函数在区间上单调递减；（3）若不等式对任意的都成立，求实数的最大值.；（2），令=， ， 在（0,1）上是减函数；（3） 两边取对数 即，令 设，设， 由（2）知函数在区间上单调递减，在上是减函数，在上是减函数 即.考点：1、导数的几何意义；2、导数在单调性上的应用；3、利用导数求最值.22.如图，圆O的半径OB垂直于直径AC,M为AO上一点，BM的延长线交圆O于N，过N点的切线交CA的延长线于P（1）求证：；(2)若圆O的半径为，OA=OM，求MN的长. 【答案】（1）详见解析；（2）2【解析】试题分析：(1)因为是圆的切线，由切割线定理知，，故只需证明，故只需证明即可，即证，因为在中，故可联想到将和直角联系起来，所以连接，则，只需证明，易证；（2）圆O的半径为，故，线段可求，要求的长，只需求，故延长交圆于点，连接，将放在中，可证明△BOM∽△BND，利用比例列式，求，从而求.试题解析：（1）证明：如图，连接ON，则ONPN，且△OBN为等腰三角形，则, 根据切割线定理，有；23.已知直线的参数方程是（t为参数），圆C的极坐标为（1）将圆C的极坐标方程化为直角坐标系方程；（2）若圆上有且仅有三个点到直线的距离为，求实数的值.公共点有三个，故圆心到直线的距离为，列式求.试题解析：(1)由得，，所以，∴，即圆C的直角坐标系方程为：；24．已知函数（1）试求使等式成立的x的取值范围；（2）若关于x的不等式的解集不是空集，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）设=，利用零点分段法，将和写成分段函数的形式，然后观察=时自变量的取值范围即可；（2）这是不等式的有解问题，利用绝对值三角不等式求的最小值，.试题解析：（1）由=，又=，故使等式成立的x的取值范围为；（2）.考点：1、零点分段法去绝对号；2、绝对值三角不等式；3、不等式有解问题.- 1 -【名师解析】辽宁省铁岭市第一高级中学2014届高三上学期期中考试数学（理）试题 Word版解析
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