谈谈运算律与速算

　　提高计算能力，运算律是我们的好助手。这一点，你早有认识；你将会看到，其中还大有潜力可以挖掘。现在就来作一次尝试。

　　“九九表”有81句口诀，因为乘法有交换律，所以其中给出一位数相乘的不同情况只有45种。想一想：两位数相乘，不同的情况会有多少种？竖式乘法使我们避免了去记忆更多的乘法口诀，而“竖式”的依据仍旧是运算律。例如：

　　23×27=（20＋3）×（20+7）
　　=（20+3）×20+（20+3）×7
　　=20×20+20×3+20×7+3×7

　　上面的运算。两次应用了分配律。
　　
　　注意到最后的算式中前三个乘积的和是
　　
　　20×20+20×3+20×7+3×7，（如下图）
　　
　　

　　　
　　
　　再次应用分配律，又可以把它写成20×（20+3+7）=20×30=600
　　
　　（即（2×3）×100）。

　　这一类两位数乘法运算，相乘的两个数，十位上的数相同，个位上的数的和是10。我们说这样的两个数是“首同尾补”，它们的积的数字由两部分组成：从左往右，先是首×（首+1）得到的数，再是尾×尾得到的数。这个规律可以推广到多位数，如208×202=42016。

　　想一想：下面的算式哪些错了？

　　(1)104×106=11024;(2)192×198=38016;
　　(3)1001×1009=101009;(4)9993×9997=99900021;
　　(5)23×29=23×(27+2)=621+46=667;
　　(6)12×17=12×(18-1)=216-12=204;
　　(7)51×69=51×(59+10)=3009+510=3519;
　　(8)25×65=25×(25+40)=625+1000=1625;
　　(9)35×45=1225;(10)45×65=2425。

　　上面的（l）、（2）、（4）式属于“首同尾补”的推广，其中（3）式是错的，它把十位上的漏写了；（5）、（6）式用于“首同尾不补”，（7）、（8）式属于“尾补首不同”，但都能转化为“首同尾补”；（9）、（l0）是错的，可仿照（7）式的方法来订正。
　　
　　如果你善于观察与思考，那么你一定会被（10）式所吸引：它属于首补尾同”，想必也会出现某种计算规律。这种猜想很有价值。
　　
　　45×65，既然不是等于2425，而是等于2925，你的注意力便会集中到那多出的500的由来──45×65=（40+5（60+5）=40×60+40×5+60×5+5×5中的40×5+60×5=（40+60）×5=100×5。

　　所以，45×65，积的末两位数应是25，而前面应是“4×6+5”的得数。

　　现在，你肯定能很快地直接写出下列两位数的积：

　　17×97，24×84，43×63，56×56。

　　对于下列情况：
　　
　　32×74，26×85，46×76，29×69，
　　
　　你产生的念头很有可能是：转化成“首补尾同”。当然，运算律又将作为助手伴随着你。
　　
　　大胆去实践，你必会成功。

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