逍遥右脑 2014-06-20 09:14
2014年小学数学解题常见错误分析
分数、百分数应用题
分数、百分数应用题是小学数学较难学好的内容之一，小学生解题时容易把解法混淆，该用乘法解答的却用除法解答，该用除法解答的却用乘法解答。其次是在解答稍复杂的分数、百分数应用题时，难以找到题目中数量的对应关系。
正确辨认应用题中的“标准数”，这是解答分数、百分数应用题的关键。在确定“标准数”时，要特别注意分析应用题中含有“分率”或“百分率”的词句。当正确地确定题中的“标准数”以后，就可以找出题中各个数量间的对应关系。
当确定了题中的数量对应关系以后，再看题中的已知条件是什么，要求的是什么，从而正确地选择解法。
（1）求一个数是另一个数的几（百）分之几的应用题
解答“求一个数是另一个数的几（百）分之几”的应用题，关键是要明确谁与谁比，被比的为标准量，然后用标准量作除数，求出商以后用分数或百分数表示出。
解答这类问题常见的错误是不能正确地确定谁是标准量，尤其有些题中，标准量并不明显，因此，常常发生错误。
例 1 人民机床厂生产320台机床，结果多生产了40台。实际完成了的百分之几？
[解]（320+40）÷320=360÷320
=1.125=112.5％。
答：实际完成了计划的112.5％。
[常见错误]
320÷（320+40）
=320÷360
≈0.889=88.9％。
答：实际完成了计划的88.9％。
例 2 育红小学三月份支出电费40元，四月份支出电费32元，四月份支出的电费比三月份节省了百分之几？
[解]（40-32）÷40
=8÷40=0.2=20％。
答：四月份比三月份节省了20％。
[常见错误]
（1）（40-32）÷32 = 8÷32 =0.25=25％。
答：四月份比三月份节省了25％。
例 3 春光小学今年有学生840人，比去年增加40人，今年的学生人数比去年增加百分之几？
[解]40÷（840-40） = 40÷800 = 0.05 = 5％。
答：今年的学生人数比去年增加5％。
[常见错误]
（1）（840-40）÷840
=800÷840
≈0.952=95.2％。
答：今年的学生人数比去年增加95.2％。
（2）（840-40）÷840
=800÷840
≈0.952=95.2％。1-95.2％=4.8％。
答：今年的学生人数比去年增加4.8％。
例 4 火炬童服厂九月上旬生产童服8085件，经检验有55件不合格。求这批童服的合格率。（百分号前面保留一位小数。）
[解]（8085-55）÷8085
=8030÷8085
≈0.993=99.3％。
答：这批童服的合格率是99.3％。
[常见错误]
55÷（8085-55）
=55÷8030
≈0.007=0.7％。
答：这批童服的合格率是0.7％。
[分析]
以上4个例题，都是属于求一个数是另一个数的几（百）分之几的应用题，解答这类题的关键是找准“标准”量，而“标准”量是在比较中得的，如求甲数是乙数的几（百）分之几，则以乙数为“标准”，若求乙数是甲数的几（百）分之几，则以甲数为“标准”。学生在解题时，由于很难判定谁与谁比，所以常常出错。如例1要求“实际完成了计划的百分之几”，而错解中则恰恰弄反，求出了“计划是实际完成的百分之几”。例2中要求“四月份比三月节省百分之几”，而错解求的是“四月比三月节省的电费是四月份的百分之几”。要避免出现这种错误，要对应用题中的特殊问句加以正确的理解。如例1的“完成了计划的百分之几”，这句问话的意思是完成数是计划数的百分之几。例2中所问“四月份支出的电费比三月份节省了百分之几”，正确理解是“四月份比三月份节省的电费是三月份的百分之几”。
例 3 的第二种错解是学生经常出现的，它求的是“去年的学生人数比今年减少百分之几”。用这种方法解题的学生总以为，“去年的学生人数比今年减少百分之几”，就是“今年的学生人数比去年增加百分之几”。其实这是不相等的，其理由和甲数比乙数多几就是乙数比甲数少几，但甲数比乙数多百分之几，一般决不是乙数比甲数少百分之几一样。这种错误与学习整数求差的定势影响有关，只要弄清了道理就不会犯这类错误了。
（2）求一个数的几（百）分之几是多少的应用题
求一个数的几（百）分之几是多少的应用题，题中已知一个具求它的几（百）分之几是多少，用乘法计算。
例 1 一种收录机，原每台售价450元，现在降价25％，价多少元？
[解] 450×（1-25％）
=450×0.75
=337.5（元）。
答：现在每台售价337.5元。
[常见错误]
450×25％=112.5（元）。
答：现在每台售价112.5元。
例 2 红林乡计划今年造林800公顷，实际超过原计划15％多少公顷？
[解]800×（1+15％）
=800×1.15
=920（公顷）。
答：实际造林920公顷。
[常见错误]
800×15％=120（公顷）。
答：实际造林120公顷。
从图中可以看出，求的是还剩下几分之几是多少页，这样，就不致于出现错解中的情况了。
（3）已知一个数的几（百）分之几是多少，求这个数的应用题
已知一个数的几（百）分之几是多少，求这个数的应用题，解题时应先找出标准量，即“单位1”的量，然后设要求的数量为x，根据求一个数的几（百）分之几是多少（用乘法计算）列出方程求解，也可以直接用除法求出答案。
对于这一类应用题，极容易与求一个数的几（百）分之几是多少的应用题相混淆。
例 1 一种白布每米的价钱是3.6元，正好是一种花布价钱的8/9。花布每米的价钱是多少元？
[解]设花布价钱每米为x元。
答：水的体积为237.6立方厘米。
例 3 小明身高144厘米，比小
已知一个数的几（百）分之几是多少，求这个数的应用题，由于题目的数量关系比较隐蔽，正确算式的算理不容易分析，且分析出又难弄懂，因此解答这类应用题学生极容易发生错误，其原因是找不准“单位1”的量，因此很难确定用乘法计算还是用除法计算。再说“甲数比乙数少几分之几”是否就是“乙数比甲数多几分之几”，一直模糊不清，因此小括号里究竟是用加法算还是用减法算始终拿不准。要能正确且顺利地解答这类应用题，必须从题目的已知条件入手，加强分析，真正弄懂算式的
这里为什么都用除法算式，直接从算式本身去分析道理较抽象，若从已知两因数的积和其中一个因数，求另一个因数必然用除法，若这样去理解就容易掌握这个算法的算理了。
（4）较复杂的分数、百分数应用题
例 1 玩具厂原有职工128人，男职工人数占总数的25％，后又调进
[常见错误]
例 3 有一批货物，分 3天运完。第一天运走30％，第二天比第一天多运走80吨，第三天比第二天多运走80吨。问这批货物共有多少吨？
[解]（80+80×2）÷（1-30％×3）
=240÷（1-90％）
=240÷0.1
=2400（吨）。
答：这批货物共有2400吨。
[常见错误]
（80+80）÷（1-30％×3）
=160÷（1-90％）
=160÷0.1
=1600（吨）。
答：这批货物共有1600吨。
[分析]
只有理解了题目的数量关系才能分析出错解的原因。根据题意可作出下图。
从图中可以看出，三天除运走这批货物的90％外，还多运了240吨，即这240吨货物正好占这批货物总量的10％，这样很快地求得这批货物的总量。然而上面错解对第三天比第二天多运80吨。不能转换成第三天比第一天多运160吨，而这种转换一般容易忽略也较难理解。适当利用线段图，可以较好地揭示这种数量关系的本质，防止出现上述错误。
例 4 师徒两人加工一批零件，原计划师傅加工零件的个数是徒弟的
这批零件共有多少个？
[分析]
很多复杂的应用题学生往往没有真正弄清题目中的数量关系，而是采取瞎猜乱碰的作法去列式，这道题的错解就是这样。题中由于乙队原有人数不知道，后又从甲队调入若干人到乙队，调入后的甲、乙队人数也都不知道，这给学生解题带了一定的困难。
对于较难解答的复杂应用题，我们一般采用一定办法转化条件，使之化难为易。这道题的一个特点是调入前后两队共有的人数是不变的（100人），
答：甲原有钱360元，乙原有钱490元。
[分析]
较复杂的分数、百分数应用题一般较难列式，就是列出算式，也不容易分析出算式的算理。题目已知甲乙二人共有钱数，若设甲原有钱数为1，如果能求出乙原有钱数是甲原有钱数的几分之几，则甲原有钱数可求出。根据题目的另外一个条件可作出下图。
3÷[48％-（1-55％）]×（1-48％）
=3÷[0.48-0.45]×0.52
=3÷0.03×0.52
=52（人）。
答：育红小学六年级现有男生52人。
[常见错误]
（3+3）÷[48％-（1-55％）]×（1-48％）
=6÷[0.48-0.45]×0.52
=6÷0.03×0.52
=104（人）。
答：育红小学六年级现有男生104人。
[分析]
由题目条件可知，转走3名男生同时转3名女生，因此全年级总人数没有变，变化的只是男生人数与女生人数。要求现有男生多少人，只有先求出六年级学生总人数。从图中可知，女生由于转3人，使女生占总人数的百分率由1-55％=45％上升到48％，显然总人数为3÷[48％-（1-55％）]，而现在的男生，占总人数的1-48％=52％，这样就可以列出解答的算式。上面错解的学生却误认为转走3名又转3名，这一进一出，两者相差6人，由于对应分率的部分数找错，因此求出的学生总数、男生人数都是正确答案的2倍。
必须指出的是如果从男生人数的改变以及男生人数所占学生总人数分率的变化求总人数，可列出本题的另一算式：
3÷[55％-（1-48％）]×（1-48％）。
相对于这种解法也可以出现另一种错误算式：
（3+3）÷[55％-（1-48％）]×（1-48％）。
例 9 两所小学的高年级学生共同参加表演团体操。甲校学生450人调出
[常见错误]
45016× ÷57
= 45017× ×56
=105（人）。
答：乙校原有学生105人
[分析]
（5）工 程 问 题
工程问题实质是一个分数问题，题目中的工作总量一般不是具体的数量，因而常常用“单位1”表示。这样，工程问题就是“单位1”与几分之几的关系问题。例如一件工程，甲20天完成乙25天完成，两人合作，多少
例1 一项工程，甲队单独做要12天，乙队单独做要15天。甲队先做3天后，余下的两队合做，还要多少天完成？
[常见错误]
例 3 一批零件，由甲车间加工，需 5小时完成，由乙车间加工，需 7小时完成。现由两个车间合作2小时，还剩下198件没有加工。求合作时间内乙车间加工零件多少件？
上面错解中如果前面的算式是求出零件总数的话，仍旧是对的，但总数减去剩下的198件，只是甲、乙两车间合作加工零件数，并不是乙车间2小时加工的零件数。
例 4 甲、乙两个打字员要打一份稿件，甲单独打要5小时完成，乙单独打要4小时完成，甲乙合打若干小时后，甲因事离开，余下的乙用3小时打完。问打完这份稿件甲乙各打了几小时？
甲打的时间实际上就是两人合打的时间，乙打的时间则是比两人合打的时间多3小时。
上面错解在计算甲、乙两人合打的时间时，把工作总量仍旧取作1，实际上这时的工作总量应除去乙单独完成的剩余工作量，由于两人合作的工作总量找错，则由此计算的合打时间必然错。
例 5 一个水池装有甲、乙两个进水管和一个出水管，单独开甲管8分钟可将空池注满，单独开乙管要10分钟注满，单独开出水管5分钟可把一池水放完。如果三管同时开放，多少时间可把空池注满？
例 6 一辆载客汽车从甲城到乙城需要8小时，一辆装货汽车从乙城到甲城需7小时。客车从甲城、货车从乙城同时相向而行，行了6小时，两车相遇后又相距170千米。求甲乙两城的距离。
[分析]
这是一道行程问题，解答过程既运用了有关工程问题的知识，又需要用到较复杂的分数应用题的有关知识。由题目的条件可知，甲城、乙城之间的
例 7 蓄水池有甲、丙两条进水管和乙、丁两条排水管。要灌满一池水，单开甲管需要3小时，单开丙管需要5小时，要排完一池水，单开乙管需要4小时，单开丁管需6小时，现在池内