逍遥右脑 2014-06-03 09:05
【—直角三角形射影定理】所谓射影，就是正投影。因此直角三角形射影定理也就是高的投影。
直角三角形射影定理
直角三角形射影定理(又叫欧几里德(Euclid)定理)：直角三角形中，斜边上的高的平方是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边的平方是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
公式: 如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射影定理如下：
(1)(BD)²=AD·DC， (2)(AB)²=AD·AC ， (3)(BC)²=CD·CA 。
等积式 (4)AB×BC=AC×BD(可用“面积法”来证明) (5)(AB)²/(BC)²=
AD/CD
直角三角形?射影定理的证明
射影定理简图(几何画板)：(主要是从三角形的相似比推算来的) 一、
在△BAD与△BCD中，∵∠ABD+∠CBD=90°，且∠CBD+∠C=90°，
∴∠ABD=∠C，
又∵∠BDA=∠BDC=90°
∴△BAD∽△CBD
∴ AD/BD=BD/CD
即BD^2=AD·DC。其余同理可得可证
注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。
有射影定理如下：
AB^2=AD·AC，BC^2=CD·CA
两式相加得：
AB^2+BC^2=AD·AC+CD·AC =(AD+CD)·AC=AC^2 .
即勾股定理。 注： AB^2的意思是AB的2次方
二、
已知:三角形中角A=90度,AD是高.
用勾股证射影
∵AD^2=AB^2-BD^2=AC^2-CD^2,
∴2AD^2=AB^2+AC^2-BD^2-CD^2=BC^2-BD^2-CD^2=(BC+BD)(BC-BD)-CD^2=(BC+BD)CD-CD^2=(BC+BD-CD)CD=2BD×CD.
故AD^2=BD×CD.
运用此结论可得:AB^2=BD^2+AD^2=BD^2+BD×CD=BD×(BD+CD) =BD×BC, AC^2=CD^2+AD^2=CD^2+BD×CD=CD(BD+CD)=CD×CB.
综上所述得到射影定理。同样也可以利用三角形面积知识进行证明。