逍遥右脑 2018-10-05 16:12
牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。牛吃草问题是小学奥数中的经典奥数题型之一，也是小学奥数考试中经常会涉及到的考点。
在小学这类问题常用到四个基本公式，分别是：
（1）草的生长速度＝（对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数）÷（吃的较多天数－吃的较少天数）；
（2）原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；
（3）吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）；
（4）牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度。
这四个公式是解决牛吃草问题的基础。一般设每头牛每天吃草量不变，设为"1"，解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草的数量，再求出草地里原有草的数量，进而解答题所求的问题。
小学奥数牛吃草问题：例1
一片牧场南面一块15公顷的牧场上长满牧草，牧草每天都在匀速生长,这片牧场可供12头牛吃25天，或者供24头牛吃10天。在牧场的西侧有一块60公顷的牧场，20天中可供多少头牛吃草？
【解析】
设１头牛１天的吃草量为"１"，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析
12头牛 25天 12×25＝300 ：
原有草量＋25天自然减少的草量
24头牛 10天 24×10＝240 ：
原有草量＋10天自然减少的草量
从上易发现：15公顷的牧场上25－10＝15天生长草量＝300－240＝60，即1天生长草量＝60÷15＝4；
那么15公顷的牧场上原有草量：300－25×4＝200；
则60公顷的牧场1天生长草量＝4×（60÷15）＝16；原有草量：200×（60÷15）＝800.
20天里，草场共提供草800＋16×20＝1120，可以让1120÷20＝56（头）牛吃20天。
小学奥数牛吃草问题：例2
一片均匀生长的草地，可以供18头牛吃40天，或者供12头牛与36只羊吃25天，如果1头牛每天的吃草量相当于3只羊每天的吃草量。请问：这片草地让17头牛与多少只羊一起吃，刚好16天吃完？
【解析】
设每头牛每天吃草1份，把36只羊转化为牛的头数为：
36÷3=12（头）
草每天生长的份数：
18×40-24×25）÷（40-25）
=120÷15
=8（份）
草地原有的草的份数：
（18-8）×40=400（份）
16天吃完，需要牛的头数是：
（400+8×16）÷16=33（头）
（33-17）×3
=16×3
=48（只）
答：这片草地让17头牛与48只羊一起吃，刚好16天吃完．
小学奥数牛吃草问题：例3
牧场上有一片牧草，可供27头牛吃6周，或者供23头牛吃9周。如果牧草每周匀速生长，可供21头牛吃几周？
【解析】
27×6=16223×9=207
207-162=45
45/(9-6)=15
每周生长数
162-15×6=72(原有量)
72/(21-15)=12周
小学奥数牛吃草问题：例4
牧场上一片青草，每天牧草都匀速生长。这片牧草可供10头牛吃20天，或者可供15头牛吃10天。问：可供25头牛吃几天？
【解析】
设1头牛一天吃的草为1份。那么，10头牛20天吃200份，草被吃完；15头牛10天吃150份，草也被吃完。前者的总草量是200份，后者的总草量是150份，前者是原有的草加 20天新长出的草，后者是原有的草加10天新长出的草。
200－150＝50（份），20-10＝10（天），
说明牧场10天长草50份，1天长草5份。也就是说，5头牛专吃新长出来的草刚好吃完，5头牛以外的牛吃的草就是牧场上原有的草。由此得出，牧场上原有草
（10-5）× 20＝100（份）或（15-5）×10＝100（份）。
现在已经知道原有草100份，每天新长出草5份。当有25头牛时，其中的5头专吃新长出来的草，剩下的20头吃原有的草，吃完需100÷20＝5（天）。
小学奥数牛吃草问题：例5
有一片牧草，每天以均匀的速度生长，现在派17人去割草，30天才能把草割完，如果派19人去割草，则24天就能割完。如果需要6天割完，需要派多少人去割草？
【解析】
17×30=510
19×24=456
510-456=54
54/(30-24)=9
每天生长量
510-30×9=240
原有草量240+6×9=294
294/6=49人