高三数学练习题及答案：一元二次不等式

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　　1.若不等式x2-2ax+a>0对一切实数x∈R恒成立，则关于t的不等式at2+2t-3<1的解集为

　　()

　　A.(-3,1)B.(-∞，-3)∪(1，+∞)

　　C.∅D.(0,1)

　　解析：不等式x2-2ax+a>0对一切实数x∈R恒成立，则Δ=(-2a)2-4a<0，即a2-a<0，解得0

　　所以不等式at2+2t-3<1转化为t2+2t-3>0，解得t<-3或t>1，故选B.

　　答案：B

　　2.若不等式组x2-2x-3≤0，x2+4x-1+a≤0的解集不是空集，则实数a的取值范围是

　　()

　　A.(-∞，-4]B.[-4，+∞)

　　C.[-4,20]D.[-40,20)

　　解析：设f(x)=x2+4x-(1+a)，根据已知可转化为存在x0∈[-1,3]使f(x0)≤0.易知函数f(x)在区间[-1,3]上为增函数，故只需f(-1)=-4-a≤0即可，解得a≥-4.

　　答案：B

　　3.(2018•江苏)已知f(x)是定义在R上的奇函数.当x>0时，f(x)=x2-4x，则不等式f(x)>x的解集用区间表示为________.

　　解析：∵f(x)是定义在R上的奇函数，

　　∴f(0)=0，

　　又当x<0时，-x>0，

　　∴f(-x)=x2+4x.

　　又f(x)为奇函数，∴f(-x)=-f(x)，

　　∴f(x)=-x2-4x(x<0)，

　　∴f(x)=x2-4x，x>0，0，x=0，-x2-4x，x<0.

　　(1)当x>0时，由f(x)>x得x2-4x>x，解得x>5;

　　(2)当x=0时，f(x)>x无解;

　　(3)当x<0时，由f(x)>x得-x2-4x>x，

　　解得-5

　　综上得不等式f(x)>x的解集用区间表示为(-5,0)∪(5，+∞).

　　答案：(-5,0)∪(5，+∞)

　　4.已知f(x)=-3x2+a(6-a)x+b.

　　(1)解关于a的不等式f(1)>0;

　　(2)若不等式f(x)>0的解集为(-1,3)，求实数a，b的值.

　　解：(1)∵f(1)>0，∴-3+a(6-a)+b>0，

　　即a2-6a+3-b<0.

　　Δ=(-6)2-4(3-b)=24+4b.

　　①当Δ≤0，即b≤-6时，原不等式的解集为∅.

　　②当Δ>0，即b>-6时，

　　方程a2-6a+3-b=0有两根a1=3-6+b，

　　a2=3+6+b，

　　∴不等式的解集为(3-6+b，3+6+b).

　　综上所述：当b≤-6时，原不等式的解集为∅;

　　当b>-6时，原不等式的解集为(3-6+b，3+6+b).

　　(2)由f(x)>0，得-3x2+a(6-a)x+b>0，

　　即3x2-a(6-a)x-b<0.∵它的解集为(-1,3)，

　　∴-1与3是方程3x2-a(6-a)x-b=0的两根.

　　∴-1+3=a6-a3，-1×3=-b3，

　　解得a=3-3，b=9或a=3+3，b=9.

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